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Trident de Newton

Le trident de Newton est une courbe plane étudiée par Isaac Newton. On la nomme parfois parabole de Descartes (bien que ce ne soit pas une parabole).

Trident d'équation y = x²+1/x

Classification des cubiques

Dans une étude menée en 1676 mais publiée en 1704, Newton cherche à classifier toutes les courbes cubiques, c’est-à-dire les courbes planes dont l'équation est de la forme :

ax^{3}+bx^{2}y+cxy^{2}+dy^{3}+ex^{2}+fxy+gy^{2}+hx+iy+j=0\,

Il en dénombre 72 types que l'on peut ranger dans quatre classes par des changements de repère appropriés :

les courbes d'équation $xy^{2}+ey=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
les courbes d'équation $xy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
les courbes d'équation $y^{2}=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
les courbes d'équation $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

Les tridents de Newton sont les courbes de type (2)

Équation cartésienne

Les tridents de Newton ont pour équation cartésienne canonique :

$xy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$

où a et d sont non nuls.

Analyse

Domaine de définition

Les tridents de Newton ne sont pas définis en 0. Leur domaine de définition est donc :

$D_{f}=\mathbb {R} ^{*}$

Dérivée

Ce sont des fonctions rationnelles. Elles sont donc dérivables sur $D_{f}$ , et leur dérivée est :

f^{'}(x)=2ax+b-{\frac {d}{x^{2}}}

Limite en l'infini

En l'infini, les tridents de Newton tendent ou bien vers $+\infty$ , ou bien vers $-\infty$ .

Si a>0 alors $\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=+\infty$ .

Si a<0 alors $\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=-\infty$ .

Limites en 0

En 0, les tridents de Newton tendent vers $+\infty$ ou $-\infty$ .

Si d>0 alors $\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$ et $\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$ .

Si d<0 alors $\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$ et $\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=+\infty$ .

Asymptotes

Ils ont pour asymptotes la parabole d'équation

y=ax^{2}+bx+c

ainsi que l'hyperbole d'équation

y={\frac {d}{x}}

Intersection avec l'axe des abscisses

On dénombre entre un et trois points d'intersection entre un trident de Newton et l'axe des abscisses selon la valeur des coefficients a, b, c, d.

Lien avec le folium de Descartes

Le changement de variable

x={\frac {X}{Y}}

et

y={\frac {1}{Y}}

Conduit à une équation de la forme :

XY=aX^{3}+bX^{2}Y+cXY^{2}+dY^{3}\,

En particulier, la courbe d'équation $y=x^{2}+{\frac {1}{x}}$ est alors transformée en un folium de Descartes

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

(en) Liste de courbes connues
(en) Un applet Java de simulation de Tridents
(fr) Le trident de Newton (explications)
(en) Page sur les tridents
(en) Comparaison entre les tridents de Newton et ceux de Descartes

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