Triangle harmonique de Leibniz

Le triangle harmonique de Leibniz est un tableau triangulaire de fractions unitaires dans lequel les termes des diagonales extérieures sont les inverses du numéro de la ligne et dont chaque terme intérieur est la différence du terme au-dessus à gauche et du terme à sa gauche.

Les huit premières lignes en sont :

{\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&&&&{\frac {1}{1}}&&&&&&&&\\&&&&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{2}}&&&&&&&\\&&&&&&&{\frac {1}{3}}&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{3}}&&&&&&\\&&&&&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{4}}&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{5}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{5}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{6}}&&&\\&&&{\frac {1}{7}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{140}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{7}}&&\\&&{\frac {1}{8}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{8}}&\\&&&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\\\end{array}}

Les dénominateurs sont listés dans la suite A003506 de l'OEIS.

Historique

D'après Charles Henry[1], c'est en 1672 que Leibniz eut l'idée de son triangle. Il l'a baptisé triangle harmonique, vu sa construction à partir de la série harmonique.

Définitions

1) par récurrence

Comme pour le triangle de Pascal, on peut présenter le triangle de Leibniz comme suit :

${\begin{array}{cc|cccccc}&k&1&2&3&4&5&6\\n&&\\\hline 1&&1\\2&&1/2&1/2\\3&&1/3&1/6&1/3\\4&&1/4&1/12&1/12&1/4\\5&&1/5&1/20&1/30&1/20&1/5\\6&&1/6&1/30&1/60&1/60&1/30&1/6\end{array}}$

Sous cette forme, la première colonne forme la série harmonique, et chaque terme est la différence du terme au-dessus à gauche et du terme à gauche.

$L(n,k)$ désignant le terme de la ligne n et de la colonne k, les nombres $L(n,k)$ pour $1\leqslant k\leqslant n$ se calculent donc par récurrence par les relations :

$L(n,1)=1/n$ pour $n\geqslant 1$ et $L(n,k)=L(n-1,k-1)-L(n,k-1)$ pour $2\leqslant k\leqslant n$ .

2) par une formule directe

Dans le triangle de Pascal, les termes se calculent à l'aide des coefficients binomiaux. Il en va de même pour le triangle de Leibniz : $L(n,k)={\frac {1}{n{n-1 \choose k-1}}}={\frac {1}{k{n \choose k}}}={\frac {(k-1)!}{n(n-1)..(n-(k-1))}}$ , ce qui montre que les termes sont bien des fractions unitaires.

Par exemple, $L(n,2)={\frac {1}{n(n-1)}}$ , $L(n,3)={\frac {2}{n(n-1)(n-2)}}$ .

On a aussi $L(n,k)=\int _{0}^{1}\!x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx=\mathrm {B} (k,n-k+1)$ , où $\mathrm {B}$ est la fonction bêta.

Propriétés

Dans le triangle de Pascal, chaque terme est la somme de deux termes de la rangée supérieure. Dans le triangle de Leibniz, chaque terme est la somme de deux termes de la rangée inférieure. En effet $L(n,k)=L(n+1,k)+L(n+1,k+1)$ .
Chaque valeur dans ce triangle égale le terme initial divisé par le terme correspondant dans le triangle de Pascal[2]. Par exemple, dans la 6^e ligne, le premier terme est 1/6, le deuxième est 1/30 et le troisième est 1/60. Dans le triangle de Pascal, les deuxième et troisième termes sont 5 et 10. Donc, 1/30 = 1/6 ÷ 5 et 1/60 = 1/6 ÷ 10.
le triangle (sous sa première forme), est symétrique par rapport à la verticale : $L(n,k)=L(n,n-k+1)$ . Chaque terme intérieur est donc aussi la différence du terme au-dessus à droite et du terme à sa droite.
Le triangle des dénominateurs des termes, qui sont aussi leurs inverses, se construit en mettant les entiers >0 sur les bords et en calculant chaque terme intérieur comme le produit du terme au-dessus et du terme à sa gauche, divisé par leur différence. Si $M(n,k)=1/L(n,k)$ , $M(n,k)={\frac {M(n,k-1)M(n-1,k-1)}{M(n,k-1)-M(n-1,k-1)}}$ . En formule exacte, $M(n,k)=k{\binom {n}{k}}$ .
La somme des dénominateurs des termes de la n^e ligne égale $\sum _{k=1}^{n}k{\binom {n}{k}}=n2^{n-1}$ . Par exemple, dans la 3^e ligne, la somme est $3+6+3=12=3\times 2^{2}$ .
Chaque terme est la somme infinie des termes de la colonne suivante en démarrant de la ligne suivante : $L(n,k)=\sum _{l=1}^{+\infty }L(n+l,k+1)$ .
Le triangle contient des nombres qui vérifient la conjecture d'Erdős-Straus quand n est divisible par 4.

La propriété 2 est mise en évidence par cette disposition des nombres :

{\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&&&&{\frac {1/1}{1}}&&&&&&&&\\&&&&&&&&{\frac {1/1}{2}}&&{\frac {1/1}{2}}&&&&&&&\\&&&&&&&{\frac {1/1}{3}}&&{\frac {1/2}{3}}&&{\frac {1/1}{3}}&&&&&&\\&&&&&&{\frac {1/1}{4}}&&{\frac {1/3}{4}}&&{\frac {1/3}{4}}&&{\frac {1/1}{4}}&&&&&\\&&&&&{\frac {1/1}{5}}&&{\frac {1/4}{5}}&&{\frac {1/6}{5}}&&{\frac {1/4}{5}}&&{\frac {1/2}{5}}&&&&\\&&&&{\frac {1/1}{6}}&&{\frac {1/5}{6}}&&{\frac {1/10}{6}}&&{\frac {1/10}{6}}&&{\frac {1/5}{6}}&&{\frac {1/1}{6}}&&&\\&&&{\frac {1/1}{7}}&&{\frac {1/6}{7}}&&{\frac {1/15}{7}}&&{\frac {1/20}{7}}&&{\frac {1/15}{7}}&&{\frac {1/6}{7}}&&{\frac {1/1}{7}}&&\\&&{\frac {1/1}{8}}&&{\frac {1/7}{8}}&&{\frac {1/21}{8}}&&{\frac {1/35}{8}}&&{\frac {1/35}{8}}&&{\frac {1/21}{8}}&&{\frac {1/7}{8}}&&{\frac {1/1}{8}}&\\&&&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\\\end{array}}

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Leibniz harmonic triangle » (voir la liste des auteurs).

CHARLES HENRY, « Étude sur le triangle harmonique », BULLETIN DES SCIENCES MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES, n° 1,‎ 1881, p. 96-113 (lire en ligne)
(en) David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, 1986, 231 p. (ISBN 978-0-14-026149-3), p. 98

Annexes

Bibliographie

(de) Joseph Ehrenfried Hofmann, Heinrich Wieleitner et Dietrich Mahnke, Die Differenzenrechnung bei Leibniz, Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, coll. « Physikalisch-Mathematische Klasse », 1931, p. 562-590

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « LeibnizHarmonicTriangle », sur MathWorld

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