Transformée en W
En théorie du signal, on appelle transformée en W le résultat de la fonction homographique définie par , où z est en pratique à son tour le résultat d'une transformée en Z.
Propriétés algébriques
La transformation en W envoie le cercle unité sur le demi-plan x < 0.
Cette transformation est involutive[1], c'est-à -dire que si w = f(z) alors z = f(w). En effet, la relation w = f(z) est symétrique en z et w, car on peut l'écrire zw – (z + w) – 1 = 0.
Ses deux points fixes sont les réels 1+√2 et 1–√2, ce qui permet l'écriture plus synthétique
- ;
on retrouve bien l'involutivité car (–1)2 = 1.
Note
- En fait, selon les auteurs, d'autres homographies (non involutives) sont parfois choisies, comme –f ou 1/f.
Référence
Jean-Charles Gilles, Systèmes et signaux déterministes (on trouvera à partir de la page 33 une utilisation de la transformation en W permettant un emploi plus aisé du critère de Routh).