Théorie k-catégorique

• La théorie des ensembles infinis est k-catégorique pour tout cardinal k infini.

  C'est une théorie du premier ordre en calcul des prédicats égalitaire pur qui comporte une infinité dénombrable d'axiomes, soit pour tout entier n ≥ 1 l'axiome « il existe au moins n éléments distincts » :

  ${\displaystyle \exists x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\qquad \wedge _{1\leq i<j\leq n}~\neg (x_{i}=x_{j})}$.

• Les quatre théories des ensembles densément ordonnés pour lesquels on précise s'ils ont ou non un premier ou un dernier élément[1] sont ℵ₀-catégoriques (en) et leurs modèles dénombrables sont isomorphes respectivement aux ensembles ordonnés de rationnels

  ${\displaystyle \left]0,1\right[\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left[0,1\right[\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left]0,1\right]\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left[0,1\right]\cap \mathbb {Q} }$.

(en) Dirk van Dalen (de), Logic and Structure, "chap. 3.3 Some model theory", Springer-Verlag, 1991.

Théorème de Löwenheim-Skolem