Théorie du champ moyen dynamique

Le modèle d'Hubbard décrit la répulsion coulombienne ressentie par deux électrons de spin opposés qui se trouvent sur le même site. Cette interaction est décrite par un unique paramètre ${\displaystyle U}$, appelée l'énergie de double occupation. L'Hamiltonien de Hubbard peut alors prendre la forme suivante:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Hubbard}}=t\sum _{\langle i,j\rangle \sigma }c_{i\sigma }^{\dagger }c_{j\sigma }+U\sum _{i}n_{i\uparrow }n_{i\downarrow }}$

où ${\displaystyle c_{i\sigma }\ (c_{i\sigma }^{\dagger })}$est un opérateur d'annihilation (création) d'un électron de spin ${\displaystyle \sigma }$ sur l'orbitale localisée ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle \langle i,j\rangle }$ dénote l'ensemble des premiers voisins, ${\displaystyle t}$ est le terme de saut qui décrit l'amplitude de probabilité qu'un électron passe d'un site ${\displaystyle j}$ vers un site ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle n_{i\sigma }=c_{i\sigma }^{\dagger }c_{i\sigma }}$. Si on voulait inclure plus de voisins dans le terme de saut, on pourrait généraliser ${\displaystyle t\rightarrow t_{ij}}$.

Le modèle d'Hubbard est en général impossible à traiter avec des techniques d'expansions perturbatives habituelles. La DMFT projette ce modèle sur réseau sur le modèle d'impureté d'Anderson (AIM). Ce dernier décrit l'interaction d'un site (l'impureté) avec un bain de niveaux électroniques (décrient par les opérateurs de création et d'annihilation ${\displaystyle a_{p\sigma }^{\dagger }}$ et ${\displaystyle a_{p\sigma }}$) à travers la fonction d'hybridisation. Le Hamiltonien du modèle d'Anderson à une seule orbitale s'écrit

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{AIM}}=\underbrace {\sum _{p\sigma }\epsilon _{p}a_{p\sigma }^{\dagger }a_{p\sigma }} _{{\mathcal {H}}_{\text{bath}}}+\underbrace {\sum _{p\sigma }\left(V_{p}^{\sigma }c_{\sigma }^{\dagger }a_{p\sigma }+h.c.\right)} _{{\mathcal {H}}_{\text{mix}}}+\underbrace {Un_{\uparrow }n_{\downarrow }-\mu \left(n_{\uparrow }+n_{\downarrow }\right)} _{{\mathcal {H}}_{\text{loc}}}}$

avec

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{bath}}}$ l'Hamiltonien décrivant l'ensemble des états du bain d'électrons non-corrélés d'énergie ${\displaystyle \epsilon _{p\sigma }}$;
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{loc}}}$ l'Hamiltonien décrivant l'orbitale de l'impureté, avec ${\displaystyle \mu }$ le potentiel chimique associé;
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{mix}}}$ l'Hamiltonien décrivant le couplage entre le bain et l'impureté à travers les termes d'hybridization ${\displaystyle V_{p}^{\sigma }}$.