Modèle de Hubbard

Le modèle de Hubbard est un modèle étudié en théorie de la matière condensée.

Il décrit des fermions (généralement des électrons) sur un réseau (en général les atomes qui forment un solide), qui interagissent uniquement lorsqu'ils se trouvent sur le même site (c'est-à-dire sur le même atome). Ce modèle a été introduit en 1963 à peu près simultanément par John Hubbard[1], Martin C. Gutzwiller[2] et Junjiro Kanamori[3]. Il est parfois appelé modèle de Hubbard-Gutzwiller-Kanamori pour cette raison. Cependant, dans sa théorie du superéchange dans les isolants antiferromagnétiques, P. W. Anderson avait déjà utilisé des approximations consistant à négliger la répulsion des électrons ne se trouvant pas sur le même site pour calculer l'énergie de l'état virtuel. Ces approximations sont analogues à celles utilisées dans la construction du modèle de Hubbard, et on pourrait argumenter que le modèle devrait s'appeler modèle de Hubbard-Gutzwiller-Kanamori-Anderson.

Le choix d'une interaction de très courte portée (alors que la répulsion coulombienne entre électrons est à longue portée) est une façon approchée de prendre en compte les effets d'écrantage dus aux électrons des couches internes des atomes qui ont pour effet de réduire la portée des interactions effectives entre les électrons. Il est remarquable que même avec une interaction aussi simplifiée, le modèle de Hubbard possède un diagramme de phase très riche. L'étude de ce modèle, ou de modèles reliés, comme le modèle t-J constitue de ce fait une branche importante de la théorie de la matière condensée. Les aspects les plus importants du modèle de Hubbard sont la possibilité de décrire une transition de phase entre un état métallique et un état isolant sous l'effet d'un dopage ou d'une pression, la possibilité d'obtenir des phases ferromagnétiques (Effet Nagaoka ou modèles de Hubbard avec bandes plates), et l'existence de phases antiferromagnétiques itinérantes ou localisées.

Le hamiltonien du modèle de Hubbard s'écrit en seconde quantification :

${\displaystyle H=-t\sum _{\langle i,j\rangle ,\sigma }(c_{i,\sigma }^{\dagger }c_{j,\sigma }+c_{j,\sigma }^{\dagger }c_{i,\sigma })+U\sum _{i}n_{i,\uparrow }n_{i,\downarrow }}$

où ${\displaystyle i,j}$ sont les indices des sites, ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$ indique une somme limitée aux plus proches voisins, ${\displaystyle \sigma =\uparrow ,\downarrow }$ représente le spin d'un fermion, ${\displaystyle t}$ mesure la largeur de bande, ${\displaystyle U}$ mesure la répulsion sur site, ${\displaystyle c^{\dagger }}$ est l'opérateur de création pour un fermion, ${\displaystyle c}$ est l'opérateur d'annihilation. On voit que le terme en ${\displaystyle t}$ annihile un fermion de spin ${\displaystyle \sigma }$ sur le site ${\displaystyle i}$ et le recrée sur le site premier voisin ${\displaystyle j}$. Le nombre total de fermions est donc conservé. Le terme en ${\displaystyle U}$ n'est différent de zéro que si deux fermions de spin opposés se trouvent sur le même site. Pour ${\displaystyle U=0}$, le hamiltonien de Hubbard se réduit au modèle des liaisons fortes.

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