Théorie des catastrophes

La théorie des catastrophes permet une extension de la première théorie des jeux de von Neumann et Morgenstern, outil pour analyser des situations d'intérêts opposés, à somme nulle : en effet, celle-ci ne traitait que de solutions où le résultat dépendait juste des choix statistiques ou probables des joueurs, faisant apparaître souvent une courbe en selle où l'on trouvait ce qui permettait à l'un de maximiser ses gains et à l'autre de minimiser ses pertes. Le propre de cette courbe en selle est qu'à tout choix X de l'un et Y de l'autre ne correspond qu'une seule valeur possible du résultat R (-R pour l'autre joueur, donc).

On ne pouvait donc alors envisager de surfaces de réponse présentant une fronce, où des choix X et Y auraient pu présenter des résultats R1 et R2 différents selon les choix antérieurs. Cette limitation, et le cas particulier de la fronce, conduisit René Thom à s'intéresser à ces topologies particulières.

La théorie des catastrophes a été mise en évidence en 1972 à la suite de la parution du livre de René Thom, Stabilité structurelle et morphogenèse[1], qui marque l'arrivée de la mathématique dans un domaine jusque-là non formalisé.

Le résultat le plus célèbre obtenu est qu'il n'existe que sept formes de « catastrophes » possibles pour toutes les équations donnant, en fonction d'un certain nombre n de paramètres d'entrée, la valeur du potentiel V d'un système, si le nombre n de ces paramètres ne dépasse pas quatre. Chacune d'elles a reçu un nom en rapport avec sa forme :

• Pour un paramètre (a) en entrée et...
  • une variable (x) en sortie :
    • le pli : ${\displaystyle V=x^{3}+ax}$
• Pour deux paramètres (a et b) en entrée et...
  • une variable (x) en sortie :
    • la fronce : ${\displaystyle V=x^{4}+ax^{2}+bx}$
• Pour trois paramètres (a, b et c) en entrée et...
  • une variable (x) en sortie :
    • la queue d'aronde : ${\displaystyle V=x^{5}+ax^{3}+bx^{2}+cx}$
  • deux variables (x et y) en sortie :
    • l'ombilic hyperbolique (la vague) : ${\displaystyle V=x^{3}+y^{3}+axy+bx+cy}$ ou bien
    • l'ombilic elliptique (le poil) : ${\displaystyle V=x^{3}/3-xy^{2}+a(x^{2}+y^{2})+bx+cy}$
• Pour quatre paramètres (a, b, c et d) en entrée et...
  • une variable (x) en sortie :
    • le papillon : ${\displaystyle V=x^{6}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx}$
  • deux variables (x et y) en sortie :
    • l'ombilic parabolique (le champignon) : ${\displaystyle V=x^{2}y+y^{4}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy}$

Avec cinq paramètres, il existe quatre formes de catastrophes supplémentaires ; ainsi, avec au plus cinq paramètres, il n'existe que onze formes de catastrophes distinctes.

Quand il y a six paramètres ou plus, la classification des catastrophes devient infinie : des « modules » apparaissent.

Ses applications sont d'abord en simulations d'objets naturels.

On la retrouve aussi dans d'autres domaines : géologie, mécanique appliquée, hydrodynamique, optique géométrique, physiologie, biologie, linguistique.

Erik Christopher Zeeman a, de façon controversée, étendu son application aux sciences humaines.

Jean Petitot a, de son côté, étendu son application à l'épistémologie.

• « […] l'essence de la théorie des catastrophes c'est de ramener les discontinuités apparentes à la manifestation d'une évolution lente sous-jacente. Le problème est alors de déterminer cette évolution lente qui, elle, exige en général l'introduction de nouvelles dimensions, de nouveaux paramètres. » — René Thom (1991)
• « Les travaux d'Euler sur le flambage des poutres, c'était déjà de la théorie des catastrophes ! » — René Thom (1980)