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Théorie de Dempster-Shafer

La thĂ©orie de Dempster-Shafer est une thĂ©orie mathĂ©matique utilisant les fonctions de croyance et le raisonnement plausible. Le but de cette thĂ©orie est de permettre de raisonner dans une situation incertaine. Cette thĂ©orie a Ă©tĂ© dĂ©veloppĂ©e par Arthur P. Dempster et Glenn Shafer. Elle est aussi appelĂ©e thĂ©orie des croyances ou thĂ©orie de l’évidence.

Photo de Dempster

Formalisme mathématique

Soit un univers, c’est-Ă -dire un ensemble contenant tous les Ă©lĂ©ments auxquels on s’intĂ©resse. L’ensemble de ses parties, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut ĂȘtre activĂ© via une extension du navigateur) : rĂ©ponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): {\mathcal {P}}(X)\,\! , est l’ensemble de tous les sous-ensembles de , y compris l’ensemble vide . Par exemple, si:

alors

Les Ă©lĂ©ments de l’ensemble des parties de peuvent ĂȘtre interprĂ©tĂ©s comme des propositions, un Ă©lĂ©ment reprĂ©sentant les Ă©tats qu’il contient. Par exemple, on peut interprĂ©ter l’élĂ©ment comme « la proposition a est vĂ©rifiĂ©e » ou « on est dans l’état a », ou encore comme « on est soit dans l’état a, soit dans l’état b ».

Notion de masse

Les masses sont assignées par une fonction appelée Basic Belief Assignment (BBA) ou mass function (MF) formellement definie comme suit :

La fonction de BBA respecte les propriétés suivantes:

  • la masse de l’ensemble vide est 0 :
  • la somme des masses des autres sous-ensembles vaut 1 :

La masse d'un Ă©lĂ©ment donnĂ© de l’ensemble des parties exprime la proportion de toutes les preuves disponibles affirmant que l'Ă©tat actuel est et pas un autre Ă©tat ou un sous-Ă©tat de . La valeur de concerne donc seulement l’état et n’apporte aucun crĂ©dit aux sous-ensembles de , chacun d’eux ayant, par dĂ©finition, sa propre masse.

Aujourd'hui, il n'existe pas de méthode rigoureusement définie pour attribuer des masses aux éléments. Cette affectation se fait donc par heuristique, aidée par des fonctions BBA connues.

Combinaison de preuves et de masses

Le problĂšme qui se pose maintenant est de savoir comment combiner deux ensembles indĂ©pendants et leurs masses. La rĂšgle de combinaison originale, connue en tant que rĂšgle de combinaison de Dempster, est une gĂ©nĂ©ralisation du thĂ©orĂšme de Bayes. Ce thĂ©orĂšme met clairement en valeur l’accord entre des sources multiples et ignore les conflits grĂące Ă  un facteur de normalisation. L’utilisation de ce thĂ©orĂšme pose ainsi problĂšme lorsque des conflits significatifs ont lieu entre diffĂ©rentes sources d’information.

Ici, la combinaison ou masse jointe est calculée à partir des deux masses et de la maniÚre suivante :

oĂč

est une mesure du niveau de conflit entre les deux masses. Le facteur de normalisation permet d’ignorer ces conflits et d’attribuer toute masse impliquĂ©e dans le conflit Ă  l’ensemble nul. De ce fait, cette opĂ©ration donne des rĂ©sultats contre-intuitifs face Ă  des conflits significatifs, dans certains contextes.

La rÚgle de combinaison de Dempster est prévue pour les cas de monde clos. Une autre rÚgle de combinaison, la rÚgle de combinaison conjonctive, propose une alternative pour les mondes ouverts:


Dans ce cas, lorsqu'il y a une fusion de valeurs conflictuel, ma valeur de n'est plus Ă©gale Ă  zĂ©ro. Cela peut ĂȘtre interprĂ©tĂ© de plusieurs façons.

  • Une mesure est aberrante.
  • La modĂ©lisation des fonctions de croyance est imparfaite.

Que ce soit pour la rÚgle de combinaison conjonctive ou la rÚgle de combinaison de Dempster, elles ont les propriétés suivante:

  • CommutativitĂ©:
  • AssociativitĂ©:
  • ÉlĂ©ment neutre :

Dans ces deux cas, les sources doivent ĂȘtre distinctes et fiables.

Une autre rĂšgle de combinaison, la rĂšgle disjonctive, permet la fusion de sources oĂč au moins une des sources est fiable. Elle est calculĂ©e comme suit:

Raisonnement par incertitude et prise de décision

Nous pouvons différencier deux niveaux de raisonnement: le niveau crédal et le niveau pignistique. Le niveau crédal se base sur le raisonnement par incertitude alors que le niveau pignistique se base sur des mesures de probabilité sur les masses. Ces raisonnement permettent à partir d'un ensemble afin de classer les éléments de et donc de prendre une décision sur l'élément de à choisir.

Niveau crédal

À partir de la valeur de la masse d’un Ă©tat, on peut dĂ©finir un intervalle de probabilitĂ©. Cet intervalle contient la valeur prĂ©cise de la probabilitĂ© de l’état, et est bornĂ© par deux mesures appelĂ©es croyance et plausibilitĂ©:


La croyance d'un ensemble est définie comme la somme des masses de tous ses sous-ensembles (pas nécessairement propres) :

La plausibilité est définie comme la somme des masses de tous les ensembles qui intersectent :


Ces deux mesures sont liées :

De ce fait, la connaissance d’une seule de ces valeurs (masse, croyance ou plausibilitĂ©) suffit Ă  dĂ©duire les deux autres.

Niveau pignistique

Comme pour le niveau crédal, nous pouvons utiliser la valeur de masse d'un état mais cette fois ci dans le but d'effectuer une mesure de probabilité. Cette mesure est effectuée comme suit[1]:

Ici, les valeurs et correspondent à leur cardinalité (c'est-à-dire au nombre d'éléments).

Notes et références

  1. Philippe SMETS, « Constructing the Pignistic Probability Function in a Context of Uncertainty », dans Uncertainty in Artificial Intelligence, Elsevier, (lire en ligne), p. 29–39

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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