Logique épistémique

On introduit une modalité ${\displaystyle K_{i}}$ pour chaque agent ${\displaystyle i}$. La construction ${\displaystyle K_{i}(\phi )}$ signifie intuitivement que l'agent ${\displaystyle i}$ sait ${\displaystyle \phi }$.

Les modèles de la logique épistémique sont les modèles de Kripke.

L'idée de Kripke est d'introduire des mondes possibles. Dans chaque monde, une relation (dite réalisabilité) indique quelles propositions atomiques sont vraies et quelles propositions atomiques sont fausses. En particulier, le monde actuel (réel) est un monde possible. Dans un monde possible donné, un agent imagine d'autres mondes comme possibles ou envisageables. Pour cela, une relation d'indistinguabilité est introduite pour chaque agent. S'il y a n agents, il y a donc n relations d'accessibilité étiquetée chacune par le nom de l'agent.

Dans un modèle de Kripke, on distingue:

• un univers ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ dont les éléments notés ${\displaystyle m}$ sont appelés des mondes,

• pour chaque agent ${\displaystyle i}$ une relation ${\displaystyle \equiv _{i}}$ dite relation d'accessibilité pour ${\displaystyle i}$,

• une relation ${\displaystyle \Vdash }$ de réalisabilité entre un monde ${\displaystyle m}$ et une proposition ${\displaystyle \varphi }$, on écrit ${\displaystyle m\Vdash \varphi }$ et on lit ${\displaystyle m}$ réalise ${\displaystyle \varphi }$.

Un cône est un ensemble ${\displaystyle C}$ de mondes (${\displaystyle C\subseteq {\mathcal {U}}}$) tels

• si ${\displaystyle m\in C}$
• et si pour tout ${\displaystyle i}$ entre ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle n}$, on a ${\displaystyle m\equiv _{i}m'}$,

alors ${\displaystyle m'\in C}$.

Une initialisation est une application ${\displaystyle I}$ qui associe à chaque variable un cône de ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$.

Le triplet ${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle {\mathcal {U}}_{\mathcal {M}},\{\equiv _{1},...,\equiv _{n}\},I_{\mathcal {M}}\rangle }$ s'appelle un modèle ou une structure de Kripke. S'il n'y a pas d'ambiguïté on abandonne les indices ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$.

La relation de réalisabilité, notée ${\displaystyle \Vdash _{\mathcal {M}}}$, ou ${\displaystyle \Vdash }$ quand il n'y a pas d'ambiguïté, se définit par induction sur la structure des propositions.

• Si ${\displaystyle \varphi }$ est une variable ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle m\Vdash x}$ si et seulement si ${\displaystyle m\in I}$.
• Si ${\displaystyle \varphi =K_{i}(\psi )}$, alors ${\displaystyle m\Vdash \varphi }$ si et seulement pour tout monde ${\displaystyle m'\in {\mathcal {U}}}$ tel que ${\displaystyle m\equiv _{i}m'}$ on a ${\displaystyle m'\Vdash \psi }$.
• Si ${\displaystyle \varphi =\varphi _{1}\vee \varphi _{2}}$, ${\displaystyle m\Vdash \varphi }$ si et seulement si ${\displaystyle m\Vdash \varphi _{1}}$ ou ${\displaystyle m\Vdash \varphi _{2}}$.
• Et ainsi de suite pour chaque connecteur.

On dit que ${\displaystyle \varphi }$ est valide dans ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ou que ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ modélise ${\displaystyle \varphi }$, noté ${\displaystyle {\mathcal {M}}\vDash \varphi }$, si pour ${\displaystyle m\in {\mathcal {U}}_{\mathcal {M}}}$, on a ${\displaystyle m\Vdash \varphi }$.

Une proposition ${\displaystyle \varphi }$ est valide (noté ${\displaystyle \vDash \varphi }$) si pour tout modèle ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ on a ${\displaystyle {\mathcal {M}}\vDash \varphi }$. Autrement dit, une proposition ${\displaystyle \varphi }$ est valide si pour tout modèle ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ et tout monde ${\displaystyle m}$ dans ce modèle, ${\displaystyle m\Vdash \varphi }$.

• ${\displaystyle {\frac {\vdash _{taut}\varphi }{\vdash \varphi }}}$ Tautologie où ${\displaystyle \vdash _{taut}\varphi }$ signifie que ${\displaystyle \varphi }$ est une tautologie classique (ou intuitionniste).

• ${\displaystyle {\frac {\vdash \varphi \Rightarrow \psi \qquad \vdash \varphi }{\vdash \psi }}}$ modus ponens

• ${\displaystyle {\frac {\vdash \varphi }{\vdash K_{i}(\varphi )}}}$ règle de nécessitation ou de généralisation

• ${\displaystyle \vdash K_{i}(\varphi \Rightarrow \psi )\Rightarrow (K_{i}(\varphi )\Rightarrow K_{i}(\psi ))}$ axiome de distribution ou axiome K.

• ${\displaystyle \vdash K_{i}(\varphi )\Rightarrow \varphi }$ axiome de la connaissance ou axiome T ou encore axiome de vérité.

• ${\displaystyle \vdash K_{i}(\varphi )\Rightarrow K_{i}(K_{i}(\varphi ))}$ axiome d'introspection positive ou 4.

• ${\displaystyle \vdash \neg K_{i}(\varphi )\Rightarrow K_{i}(\neg K_{i}(\varphi ))}$ axiome d'introspection négative ou 5.

Toute proposition prouvable est valide. Autrement dit, si ${\displaystyle \vdash \varphi }$ alors ${\displaystyle \vDash \varphi }$.

Si l'on considère les modèles où les relations d'accessibilité sont réflexives alors toute proposition valide est prouvable dans ${\displaystyle \mathbb {T} }$.

Si l'on considère les modèles où les relations d'accessibilité sont des relations de préordre (réflexives et transitives) alors toute proposition valide est prouvable dans ${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$.

Si l'on considère les modèles où les relations d'accessibilité sont des relations d'équivalence (réflexives, transitives et symétriques) alors toute proposition valide est prouvable dans ${\displaystyle \mathbb {S} _{5}}$.