Théorie d'Auslander-Reiten

Soit ${\displaystyle R}$ une algèbre d'Artin. Une suite

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

de modules gauches de type fini sur ${\displaystyle R}$ est appelée une suite presque scindée (ou suite d'Auslander–Reiten) si elle a les propriétés suivantes :

• La suite n'est pas scindée ;
• ${\displaystyle C}$ est indécomposable et tout homomorphisme d'un module indécomposable dans ${\displaystyle C}$ qui n'est pas un isomorphisme se factorise par ${\displaystyle B}$ ;
• ${\displaystyle A}$ est indécomposable et tout homomorphisme de ${\displaystyle A}$ vers un module indécomposable qui n'est pas un isomorphisme se factorise par ${\displaystyle B}$.

Pour tout module gauche de type fini ${\displaystyle C}$ qui est indécomposable mais non projectif, il existe une suite presque scindée comme ci-dessus, qui est unique à isomorphisme près. De même, pour tout module gauche de type fini ${\displaystyle A}$ qui est indécomposable mais non injectif, il existe une suitz presque scindée comme ci-dessus, qui est unique à isomorphisme près.

Le module ${\displaystyle A}$ dans la suite presque scindée est isomorphe à ${\displaystyle D(Tr(C))}$, le dual de la transposée de ${\displaystyle C}$.

On prend pour ${\displaystyle R}$ est l'anneau ${\displaystyle k[x]/(x^{n})}$ pour un corps ${\displaystyle k}$ et un entier ${\displaystyle n\geq 1}$. Les modules indécomposables sont isomorphes à l'un des ${\displaystyle k[x]/(x^{m})}$ pour ${\displaystyle 1\leq m\leq n}$ et le seul qui est projectif est celui pour ${\displaystyle m=n}$. Les suites presque scindées sont isomorphes à

${\displaystyle 0\rightarrow k[x]/(x^{m})\rightarrow k[x]/(x^{m+1})\oplus k[x]/(x^{m-1})\rightarrow k[x]/(x^{m})\rightarrow 0}$

pour ${\displaystyle 1\leq m<n}$. Le premier morphisme envoie ${\displaystyle a}$ sur ${\displaystyle (xa,a)}$, et le second envoie ${\displaystyle (b,c)}$ sur ${\displaystyle b-xc}$.