Théorème du rang constant

Théorème — Soient ${\displaystyle U}$ un ouvert de ℝⁿ, ${\displaystyle a}$ un élément de ${\displaystyle U}$ et ${\displaystyle f:U}$→ℝ^p une application de classe C¹. Si la différentielle de ${\displaystyle f}$ est de rang constant ${\displaystyle r}$ sur ${\displaystyle U}$, alors il existe

• un C¹-difféomorphisme ${\displaystyle \varphi }$ d'un ouvert ${\displaystyle V}$ de ℝⁿ contenant 0 sur un ouvert de ${\displaystyle U}$ avec ${\displaystyle \varphi (0)=a}$ et
• un C¹-difféomorphisme ${\displaystyle \psi }$ d'un ouvert de ℝ^p contenant ${\displaystyle f(\varphi (V))}$ sur un ouvert de ℝ^p, tels que :${\displaystyle \forall x\in V,\quad \psi \circ f\circ \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=(x_{1},\ldots ,x_{r},0,\ldots ,0).}$