Théorème du quart de Koebe

Soit que

${\displaystyle g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

que l'on suppose univalente dans ${\displaystyle |z|>1}$. Alors

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n|b_{n}|^{2}\leq 1.}$

En effet, si ${\displaystyle r>1}$, le complément de l'image du disque ${\displaystyle |z|>r}$ est un domaine bornée ${\displaystyle X(r)}$. Son aire est donnée par

${\displaystyle \int _{X(r)}dx\,dy={1 \over 2i}\int _{\partial X(r)}{\overline {z}}\,dz={1 \over 2i}\int _{|z|=r}{\overline {g}}\,dg=\pi r^{2}-\pi \sum _{n=1}^{\infty }n|b_{n}|^{2}r^{-2n}.}$

Puisque l'aire est positive, le résultat s'ensuit en faisant tendre ${\displaystyle r}$ vers ${\displaystyle 1}$. La preuve ci-dessus montre que l'égalité est vraie si et seulement si le complément de l'image de ${\displaystyle g}$ a une aire nulle, c'est-à-dire de mesure nulle.

Ce résultat a été prouvé en 1914 par le mathématicien suédois Thomas Hakon Grönwall.

La fonction de Koebe est définie par

${\displaystyle f(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nz^{n}}$

L'application du théorème à cette fonction montre que la constante ${\displaystyle 1/4}$ dans le théorème ne peut pas être augmentée, car le domaine image ${\displaystyle f(\mathbf {D} )}$ ne contient pas le point ${\displaystyle z=-1/4}$ et ne peut donc contenir aucun disque centré sur ${\displaystyle 0}$ avec un rayon supérieur à ${\displaystyle 1/4}$.

La fonction de Koebe d'angle ${\displaystyle \alpha }$ est

${\displaystyle f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\alpha ^{n-1}z^{n}}$

avec ${\displaystyle \alpha }$ un nombre complexe de module égal à ${\displaystyle 1}$. La fonction de Koebe et ses rotations sont schlicht : c'est-à-dire univalentes et satisfaisant ${\displaystyle f(0)=0}$ et ${\displaystyle f'(0)=1}$.

Soit

${\displaystyle g(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots }$

univalente dans ${\displaystyle |z|<1}$. Alors

${\displaystyle |a_{2}|\leq 2}$

en appliquant le théorème de l'aire de Grönwall à la fonction univalente impaire

${\displaystyle g(z^{-2})^{-1/2}=z-{1 \over 2}a_{2}z^{-1}+\cdots .}$

avec égalité si et seulement si ${\displaystyle g}$ est une fonction de Koebe d'angle donnée.

Ce résultat a été prouvé par Ludwig Bieberbach en 1916 et a servi de base à sa célèbre conjecture selon laquelle ${\displaystyle |a_{n}|\leq n}$, prouvé en 1985 par Louis de Branges.

En composant par une application affine, on peut supposer

${\displaystyle f(0)=0,\,\,\,f^{\prime }(0)=1,}$

de sorte que

${\displaystyle f(z)=z+a_{2}z^{2}+\cdots .}$

Si ${\displaystyle w}$ n'est pas dans ${\displaystyle f(\mathbf {D} )}$, alors

${\displaystyle h(z)={wf(z) \over w-f(z)}=z+(a_{2}+w^{-1})z^{2}+\cdots }$

est univalente dans ${\displaystyle |z|<1}$.

${\displaystyle |w|^{-1}\leq |a_{2}|+|a_{2}+w^{-1}|\leq 4,}$

et donc

${\displaystyle |w|\geq {1 \over 4}.}$

Le théorème de distorsion de Koebe donne une série de bornes pour une fonction univalente et sa dérivée. C'est une conséquence directe de l'inégalité de Bieberbach pour le second coefficient et du théorème du quart de Koebe[1].

Soit ${\displaystyle f(z)}$ une fonction univalente sur ${\displaystyle |z|<1}$ normalisée de sorte que ${\displaystyle f(0)=0}$ et ${\displaystyle f'(0)=1}$ et ${\displaystyle r=|z|}$. Alors

${\displaystyle {r \over (1+r)^{2}}\leq |f(z)|\leq {r \over (1-r)^{2}}}$

${\displaystyle {1-r \over (1+r)^{3}}\leq |f^{\prime }(z)|\leq {1+r \over (1-r)^{3}}}$

${\displaystyle {1-r \over 1+r}\leq \left|z{f^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq {1+r \over 1-r}}$

avec égalité si et seulement si ${\displaystyle f}$ est une fonction de Koebe

${\displaystyle f(z)={z \over (1-e^{i\theta }z)^{2}}.}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Koebe quarter theorem » (voir la liste des auteurs).

• Ludwig Bieberbach, Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln, 1916, 940–955 p.
• L. Carleson et T. D. W. Gamelin, Complex dynamics, Springer-Verlag, coll. « Universitext: Tracts in Mathematics », 1993, 1–2 (ISBN 0-387-97942-5, lire en ligne)
• John B. Conway, Functions of One Complex Variable II, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1995 (ISBN 978-0-387-94460-9)
• P. L. Duren, Univalent functions, vol. 259, Springer-Verlag, coll. « Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften », 1983 (ISBN 0-387-90795-5)
• T.H. Gronwall, Some remarks on conformal representation, vol. 16, 1914, 72–76 p. (DOI 10.2307/1968044)
• Zeev Nehari, Conformal mapping, Dover, 1952, 248–249 (ISBN 0-486-61137-X, lire en ligne )
• C. Pommerenke, Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen, vol. 15, Vandenhoeck & Ruprecht, coll. « Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher », 1975
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3, coll. « Series in Higher Mathematics », 1987 (ISBN 0-07-054234-1, MR 924157)