Théorème des trois longueurs

On peut aussi considérer des points sur le cercle unité (de circonférence 1). Pour un nombre réel ${\displaystyle u}$, on note alors ${\displaystyle \{u\}}$ le point du cercle qui fait un angle ${\displaystyle 2\pi u}$ avec l'axe réel. Les multiples ${\displaystyle \{iu\}}$ sont alors les points obtenus par rotation d'angle ${\displaystyle 2\pi u}$, et l'énoncé concerne la longueur des arcs de cercle entre deux points consécutifs : ces longueurs ne prennent que trois valeurs au plus.

Les parties fractionnaires des quatre premiers multiples de ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}$ sont :

${\displaystyle \{\alpha \}={\sqrt {2}}-1}$; ${\displaystyle \{2\alpha \}=2{\sqrt {2}}-2}$ ; ${\displaystyle \{3\alpha \}=3{\sqrt {2}}-4}$; ${\displaystyle \{4\alpha \}=4{\sqrt {2}}-5}$

et on a :

${\displaystyle 0<\{3\alpha \}<\{\alpha \}<\{4\alpha \}<\{2\alpha \}<1}$.

Les cinq intervalles ont respectivement les longueurs :

${\displaystyle 3{\sqrt {2}}-4;\ 3-2{\sqrt {2}};\ 3{\sqrt {2}}-4;\ 3-2{\sqrt {2}};\ 3-2{\sqrt {2}}}$;

et ces longueurs ne prennent même que deux valeurs dans ce cas.

Le lien entre ce théorème des trois longueurs et la combinatoire des mots est particulièrement apparente dans le résultat suivant, connu sous le nom de théorème des trois lacunes (« three gap theorem » en anglais), qui est équivalent au théorème des trois longueurs et qui peut être considéré comme son « dual » : étant donné deux nombres ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ dans l'intervalle ${\displaystyle ]0,1[}$, les différences entre deux valeurs consécutives de ${\displaystyle n}$ telles que ${\displaystyle \{\alpha n\}<\beta }$ prennent au plus trois valeurs, la plus grande étant la somme des deux autres. On peut en effet construire un codage naturel de l'orbite d'un point du cercle unité par la rotation d'angle ${\displaystyle \alpha }$, comme c'est réalisé dans l'animation donnée en haut à droite, par rapport aux intervalle ${\displaystyle [0,\beta [}$ et ${\displaystyle [\beta ,1[}$ (le cas montré en haut est celui où ${\displaystyle \alpha =\beta =\theta }$, et correspond aux suites sturmiennes); les longueurs des blocs de 0 et de 1 sont directement liés aux trois lacunes[2].