Théorème des gendarmes

Soient :

• E un espace topologique ;
• A une partie de E ;
• ${\displaystyle a}$ un point de E adhérent à A ;
• ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle h}$ trois fonctions de A dans ℝ = ℝ ∪ {–∞, +∞} ;
• ${\displaystyle L}$ un élément de ℝ.

Si ${\displaystyle f\leq g\leq h}$ et si ${\displaystyle \lim _{a}f=\lim _{a}h=L}$, alors ${\displaystyle g}$ converge en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle \lim _{a}g=L}$[5].

Pour comprendre le nom familier du théorème, il faut assimiler les fonctions f et h à des gendarmes et g à un suspect. Ce dernier, encadré par les deux gendarmes, est obligé de les suivre jusqu'à la gendarmerie L. En Italie, on l'appelle « théorème des carabiniers », « théorème de l'affrontement », ou encore « théorème du sandwich ». Il est également appelé « théorème d'existence de limites par encadrement » dans le supérieur[6] car son résultat phare est l'existence de la limite plus que sa valeur. Il existe en effet d'autres théorèmes, comme celui de passage à la limite dans une inégalité, qui permettent d'obtenir la valeur d'une limite si l'on connaît son existence.

• Si ${\displaystyle f\leq g}$ et ${\displaystyle \lim _{a}f=+\infty }$, les hypothèses du théorème sont satisfaites pour ${\displaystyle L=+\infty }$, en posant ${\displaystyle h:x\mapsto +\infty }$.
• Si ${\displaystyle g\leq h}$ et ${\displaystyle \lim _{a}h=-\infty }$, les hypothèses du théorème sont satisfaites pour ${\displaystyle L=-\infty }$, en posant ${\displaystyle f:x\mapsto -\infty }$.
• L'ensemble A peut être un intervalle réel et le point a un élément de cet intervalle, ou l'une de ses deux bornes (finies ou non).
• On peut aussi appliquer le théorème avec ${\displaystyle A=\mathbb {N} }$ ou ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \mid n>N\}}$ et ${\displaystyle a=+\infty }$ : si u, v et w sont trois suites réelles, telles que pour tout n > N${\displaystyle u_{n}\leq v_{n}\leq w_{n}{\text{ et }}\lim _{n\to +\infty }u_{n}=\lim _{n\to +\infty }w_{n}=L,{\text{ alors }}\lim _{n\to +\infty }v_{n}=L,}$avec ${\displaystyle L}$ réel ou infini.