Théorème des deux séries de Kolmogorov

Soit ${\displaystyle \left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ une suite de variables aléatoires indépendantes d'espérance ${\displaystyle \mathbf {E} \left[X_{n}\right]=\mu _{n}}$ et de variance ${\displaystyle \mathbf {Var} \left(X_{n}\right)=\sigma _{n}^{2}}$, tel que ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu _{n}}$ et ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}}$ convergent dans ℝ. Alors ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}$ converge dans ℝ presque sûrement .

Supposons sans perte de généralité que ${\displaystyle \mu _{n}=0}$ . Posons ${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}X_{n}}$. Nous allons voir que ${\displaystyle \limsup _{N}S_{N}-\liminf _{N}S_{N}=0}$ presque sûrement

Pour chaque ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ,

$${\displaystyle \limsup _{N\to \infty }S_{N}-\liminf _{N\to \infty }S_{N}=\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\leq 2\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|}$$

Ainsi, pour chaque ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ et ${\displaystyle \epsilon >0}$ ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\geq \epsilon \right)&\leq \mathbb {P} \left(2\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq \epsilon \ \right)\\&=\mathbb {P} \left(\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq {\frac {\epsilon }{2}}\ \right)\\&\leq \limsup _{N\to \infty }4\epsilon ^{-2}\sum _{i=m+1}^{m+N}\sigma _{i}^{2}\\&=4\epsilon ^{-2}\lim _{N\to \infty }\sum _{i=m+1}^{m+N}\sigma _{i}^{2}\end{aligned}}}$$

Alors que la deuxième inégalité est due à l'inégalité de Kolmogorov .

En supposant que ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}}$ converge, il s'ensuit que le dernier terme tend vers 0 lorsque ${\displaystyle m\to \infty }$, pour chaque ${\displaystyle \epsilon >0}$ .

• Durrett, Rick. Probabilité: théorie et exemples. Duxbury advanced series, troisième édition, Thomson Brooks / Cole, 2005, section 1.8, pp. 60–69.
• M. Loève, Théorie des probabilités, Princeton Univ. Presse (1963) pp. Secte. 16,3
• W. Feller, Une introduction à la théorie des probabilités et ses applications, 2, Wiley (1971) pp. Secte. IX.9