Théorème de la feuille compacte de Novikov

C'est un cas particulier du théorème précédent. Tout feuilletage différentiable de codimension 1 de la sphère S³ possède une feuille compacte. Cette feuille est un des tores T² du feuilletage de Reeb.

Il a été démontré par Sergueï Novikov en 1964 et avait été conjecturé antérieurement par Charles Ehresmann, en particulier à partir de l'exemple du feuilletage de Reeb.

En 1965, Novikov a généralisé ce théorème pour toute variété tridimensionnelle M³.

Soit M³ une variété fermée tridimensionnelle munie d'un feuilletage F de codimension 1. Sous l'une quelconque des conditions suivantes :

1. Son groupe fondamental ${\displaystyle \pi _{1}(M^{3})}$ est fini,
2. Son deuxième groupe d'homotopie ${\displaystyle \pi _{2}(M^{3})\neq 0}$,
3. Il existe une feuille ${\displaystyle L\in F}$ telle que l'application ${\displaystyle \pi _{1}(L)\to \pi _{1}(M^{3})}$ induite par l'inclusion possède un noyau non trivial.

alors F possède une feuille compacte de genre g ≤ 1. Excepté dans le cas(2), où la feuille fermée peut être S² or ${\displaystyle RP^{2}}$, le feuilletage contient un composant de Reeb.

Ceci peut s'exprimer en termes de revêtement : tout feuilletage de codimension 1 d'une variété tridimensionnelle compacte dont le revêtement universel n'est pas contractile possède une feuille compacte.

• S. Novikov. The topology of foliations//Trudy Moskov. Mat. Obshch, 1965, v. 14, p. 248–278.[lire en ligne]
• I. Tamura. Topology of foliations — AMS, v.97, 2006.
• D. Sullivan, Cycles for the dynamical study of foliated manifolds and complex manifolds, Invent. Math., 36 (1976), p. 225–255.
• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Novikov's compact leaf theorem » (voir la liste des auteurs).