Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre

En géométrie euclidienne plane, plus précisément dans la géométrie du cercle, les théorèmes de l'angle inscrit et de l'angle au centre établissent des relations liant les angles inscrits[1] et les angles au centre interceptant un même arc.

Le théorème de l'angle au centre affirme que, dans un cercle, un angle au centre mesure le double d'un angle inscrit interceptant le même arc (figure 1 et 2, $2{\widehat {AMB}}={\widehat {AOB}}$ ).
Le théorème de l'angle inscrit est une conséquence du précédent et affirme que deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont la même mesure (figure 1).

Figure 1 : L'angle AOB mesure le double de l'angle AMB et de l'angle ANB.

Figure 2 : angle inscrit AMB obtus, angle au centre AOB rentrant.

Il existe deux versions de ces théorèmes, une concernant les angles géométriques et l'autre les angles orientés.

Théorème de l'angle au centre

Version relative aux angles géométriques

Théorème[2] — Soit M un point d'un cercle Γ, de centre O, A et B sont deux points du cercle distincts de M. Si les angles AMB et AOB interceptent le même arc AB alors : $2{\widehat {AMB}}={\widehat {AOB}}$ .

Il existe donc deux situations, l'une où l'angle inscrit de sommet M est aigu, donc l'angle au centre de sommet O saillant (figure 1), l'autre où l'angle inscrit de sommet M est obtus, donc l'angle au centre de sommet O rentrant (figure 2).

Cas particulier

Le cas d'un angle inscrit dans un demi-cercle est le cas particulier pour lequel l'angle au centre est un angle plat, et donc l'angle inscrit est un angle droit.

Version relative aux angles orientés

L'énoncé et la démonstration de la propriété sont beaucoup plus simples avec des angles orientés.

Théorème[3] — Soient A, B et M trois points distincts, et Γ un cercle de centre O passant par A et B. Le point M appartient à Γ si et seulement si : $({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})\equiv 2({\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}})\mod {2\pi }$ .

Théorème de l'angle inscrit

Version relative aux angles géométriques

Les angles bleu et vert interceptent le même arc (rose) ; ils ont même mesure θ. L'angle brun intercepte l'arc noir, qui complète l'arc rose ; il est supplémentaire aux deux autres angles.

Corollaire — Deux angles inscrits dans un cercle et interceptant le même arc sont de même mesure.

Cette propriété est une conséquence immédiate[2] du théorème de l'angle au centre ci-dessus.

Complément — Deux angles inscrits dans un cercle interceptant des arcs de cercle complémentaires[4] sont supplémentaires.

Les angles inscrits interceptent deux arcs complémentaires si leurs sommets sont de part et d'autre de la corde associée aux deux arcs.

La propriété énoncée est encore une conséquence directe du théorème de l'angle au centre. Lorsque les arcs sont complémentaires, la somme des angles au centre donne un angle plein. Comme les angles inscrits valent moitié des angles au centre, la somme des angles inscrits donne un angle plat.

Applications

Ce théorème est à la base de la notion de cercle de focalisation, ou cercle de Rowland, en spectrométrie.

Angle de la corde et d'une tangente

La propriété des angles inscrits se généralise aux angles que fait la corde qui sous-tend l'arc avec une tangente :

L'angle inscrit a même mesure que l'angle formé par la corde, qui joint les extrémités de l'arc, avec la partie de la tangente au cercle à l'une des extrémités de la corde, située à l'opposé de l'angle en question par rapport à la corde.

L'angle inscrit ${\widehat {AMB}}$ a même mesure que celle d'un des deux angles formés par la tangente (TT') au cercle en A avec la corde [AB] :

L'angle inscrit ${\widehat {AMB}}$ est de même mesure que l'angle ${\widehat {BAT}}$ de la corde [BA] avec la tangente [AT).

${\widehat {BAT}}$ est la position limite de l'angle inscrit ${\widehat {BMA}}$ lorsque M « tend » vers A.

Démonstration

Si H est le milieu de [AB], les angles ${\widehat {HOA}}$ et ${\widehat {BAT}}$ ont leurs côtés deux à deux perpendiculaires, ils ont même mesure.

(OH) étant la bissectrice du triangle isocèle BOA, on a ${\widehat {HOA}}={\frac {1}{2}}{\widehat {BOA}}$ et ${\widehat {BAT}}$ est bien égal à la moitié de la mesure de l'angle au centre ${\widehat {BOA}}$ et donc à la mesure de l'angle ${\widehat {BMA}}$ d'après le théorème de l'angle au centre.

Version relative aux angles orientés

Pour les angles orientés, la propriété devient une caractérisation du cercle passant par les points A, M et B.

Théorème — Si $\Gamma$ est le cercle circonscrit à un triangle non plat AMB alors pour tout point N distinct de A et B, on a

({\overrightarrow {NA}},{\overrightarrow {NB}})\equiv ({\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}})\mod \pi \iff N\in \Gamma

On remarquera que l'égalité n'est vraie qu'à $π$ près, ce qui explique que les angles géométriques puissent être supplémentaires.

Application à l'angle entre deux cordes sécantes

Théorème de l'angle entre deux cordes sécantes : l'angle entre deux cordes sécantes est égal à la moyenne des angles au centre interceptés ; avec les notations de la figure : ${\widehat {AMB'}}={\widehat {A'MB}}={\frac {1}{2}}({\widehat {AOB'}}+{\widehat {A'OB}})$ .

Démonstration :

D'après le théorème de l'angle inscrit, ${\widehat {A'AB}}={\widehat {A'B'B}}=\alpha$ et ${\widehat {AA'B'}}={\widehat {ABB'}}=\beta$ , et d'après la propriété des angles du triangle $AMA'$ (ou $BMB'$ ) , ${\widehat {AMB'}}=\alpha +\beta$ ; or $\alpha ={\frac {1}{2}}{\widehat {A'OB}}$ et $\beta ={\frac {1}{2}}{\widehat {AOB'}}$ d'où le résultat.

On en déduit que si les cordes sont perpendiculaires, on a la relation entre longueurs d'arcs : ${\overset {\frown }{AA'}}+{\overset {\frown }{BB'}}={\overset {\frown }{A'B}}+{\overset {\frown }{B'A}}=\pi R$ , relation connue d'Archimède [5].

Notes et références

Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Théorème de l'angle inscrit » (voir la liste des auteurs).

Un angle inscrit est un angle dont le sommet appartient au cercle. Ainsi, sur le schéma, l'angle AMO est inscrit au cercle car M est placé sur la circonférence.
Pour une démonstration, voir par exemple le chapitre « Angle inscrit et angle au centre » de la leçon « Théorème de l'angle inscrit » sur Wikiversité.
Pour une démonstration, voir par exemple le chapitre « Version relative aux angles orientés » de la leçon « Théorème de l'angle inscrit » sur Wikiversité.
Un des arcs, complété par l'autre, forme le cercle tout entier. Voir Complémentaire (théorie des ensembles).
David wells, Le dictionnaire Penguin des curiosités géométriques, Eyrolles, 1998, p. 107

Voir aussi

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