Théorème de l'élément primitif

D'abord, la théorie de Galois, y compris les théorèmes d'extension et de décompte des morphismes de corps, peut être largement simplifiée par ce théorème.

En outre, les applications théoriques et pratiques abondent dans la littérature. Voici un exemple :

Proposition : Soit L/K une extension séparable. Si le degré de tout élément x de L est borné par un nombre donné C, alors L/K est finie de degré au plus C.

Car si l'extension L/K était infinie, elle contiendrait des sous-extensions (séparables) finies de K de degré arbitrairement grand, donc etc.

Toute sous-extension d'une extension simple finie est simple.

En effet, si cette sous-extension contenait un nombre infini de corps intermédiaires, il en serait de même pour toute sur-extension finie, qui ne pourrait donc être simple.

C'est peut-être un fait surprenant qu'une extension finie puisse contenir un nombre infini de sous-extensions. Pour s'en convaincre, reprenons l'exemple de la première section. On pose comme précédemment K = F_p(X, Y) et L = K(X^1/p,Y^1/p). Considérons les éléments de la forme t_c = X^1/p + c Y^1/p, où c varie dans un sous-ensemble infini de K, et montrons que les corps intermédiaires K(t_a) et K(t_b) sont distincts lorsque a et b le sont. Si tel n'était le cas, on aurait K(t_a) = K(t_b) pour un certain couple (a,b), donc il existerait un polynôme P(T) à coefficient dans K tel que t_a = P(t_b). En tenant compte que t_b^p = X + b^pY, on peut supposer que P est de degré au plus p - 1. Notons que X^1/p est de degré p sur F_p[X], et donc aussi sur K[Y^1/p] , sans quoi il existerait une relation de dépendance algébrique entre X et Y. Il est d'autre part facile de voir que P(t_b) = Q(X^1/p), où Q(V) est un polynôme sur K(Y^1/p), de même degré et coefficient directeur que P. De plus la relation t_a = P(t_b) implique Q(X^1/p) - X^1/p - a Y^1/p = 0, ce qui n'est possible que si Q(V) = V + aY^1/p, car Q est de degré au plus p - 1 et X^1/p est de degré p sur K(Y^1/p). Ainsi, P, tout comme Q, est unitaire et de degré 1 : P(T) = T + h(X, Y). Mais alors la relation t_a = P(t_b) implique aY^1/p = bY^1/p + h(X, Y), ce qui est impossible car a ≠ b et Y^1/p est de degré p>1 sur K.

La construction de van der Waerden[4] - [18] fournit un procédé effectif simple de construction d'un élément primitif, à partir d'un système de générateurs fini d'une extension séparable. En fait, outre le fait qu'elle permet de supposer la forme linéaire d'un tel élément, elle donne un peu plus : elle assure l'existence d'un élément primitif, lors même qu'un des générateurs du système n'est pas séparable.

Énoncé : Soit K un corps infini, et α₁, α₂, ... α_n des éléments algébriques sur K. On suppose que tous ces éléments sont séparables sur K, sauf peut-être α₁, et on pose L = K(α₁, α₂, ... α_n). Alors

1. il existe un élément primitif de L/K de la forme θ = α₁ + λ₂α₂ + ... + λ_nα_n, les λ_i pouvant être choisis dans n'importe quelle partie infinie donnée de K ;
2. si tous les α_i sont séparables, alors θ peut être supposé séparable.

Notons que puisque le groupe multiplicatif d'un corps fini est engendré par un seul élément, toute extension finie d'un corps fini est simple, et admet donc un élément primitif. Ainsi, le procédé de construction de van der Waerden implique le théorème de l'élément primitif.

La deuxième partie du théorème est évidemment une conséquence du fait qu'un système de générateurs séparables engendre une extension séparable, un théorème de base de la théorie des corps. Mais justement, l'intérêt de cette deuxième assertion réside dans le fait qu'elle fournit une démonstration simple dudit théorème, alors que celle-ci prend facilement des allures laborieuses dans de nombreuses expositions (détails dans la boîte déroulante ci-après).

Le théorème de la base normale garantit que si L/K est une extension finie galoisienne de corps commutatifs, de groupe de Galois G, alors il existe un élément α de L dont l'orbite Gα est une base du K-espace vectoriel L. En particulier, puisque les conjugués de α sont racines de son polynôme minimal, deg(α, K) = [L : K], donc α est un élément primitif de L/K. Mais c'est un élément primitif qui jouit d'une propriété supplémentaire particulièrement utile.

On doit cependant noter que le théorème de la base normale exige que L/K soit normale (en plus d'être séparable). Le théorème de l'élément primitif, lui, n'est pas assujetti à cette contrainte supplémentaire.

Considérons un anneau intègre A de corps de fractions K, et L une extension galoisienne finie de K. Supposons que B soit un sous-anneau de L contenant A, dont le corps des fractions est L. Si A est infini et B est de type fini sur A, on peut, grâce à la construction de van der Waerden, construire un élément primitif θ pour L/K appartenant à B. Néanmoins, il n'est pas vrai en général que B = A[θ], même si B est un corps de nombres (de type fini sur A), comme exposée dans la section corps monogènes ci-après. Lorsqu'une telle propriété a lieu, et que A et B sont intégralement clos, on dit que B/A est une couverture d'anneaux[19], et que θ est un élément primitif pour cette couverture. Si de plus L/K est galoisienne, alors on parle de couverture galoisienne d'anneaux[19].

Une condition suffisante pour assurer l'existence d'un tel élément primitif est la suivante[20] :

Soit A un anneau intégralement clos, de corps de fraction K, et B sa fermeture intégrale dans une extension séparable finie L de K.

Supposons que θ soit un élément primitif de l'extension L/K, avec θ entier sur A, de polynôme minimal P sur K (donc les coefficients de P sont dans A). Si N_L/K(P'(θ)) est une unité de A, alors B = A[θ].

Il y a un cas notoire d'extension d'anneaux B/A, où B est engendré par un unique élément entier sur A[21] :

Théorème : Supposons que A soit un anneau de valuation discrète, de corps de fractions K et de valuation associée v, et que B soit un anneau de valuation contenant A, de valuation associée w étendant v au corps des fractions L de B. On suppose que L/K est une extension finie. Si L est complet pour la valuation w (ou, ce qui est équivalent, K est complet pour v), et si l'extension de corps résiduels correspondant à w et v est séparable, alors B = A[θ] pour un certain élément θ entier sur A.

C'est une application du lemme d'Hensel, mais on peut aussi en donner une démonstration utilisant des principes de bases[22].

Avec les hypothèses du théorème précédent, l'extension B/A est une couverture d'anneaux car tout anneau de valuation est intégralement clos.

Toujours dans le cadre des anneaux de valuations discrètes, on a encore les conditions très utiles suivantes qui suffisent à assurer la couverture d'anneaux[23].

Supposons que A soit un anneau de valuation discrète, de corps de fractions K et de valuation associée v, et que L soit une extension de K obtenue en adjoignant la racine θ d'un polynôme irréductible unitaire P à coefficients dans A. Dans Chacun des cas suivants, A[θ] est un anneau de valuation discrète, de valuation associée étendant v :

• l'image de P dans le corps résiduel de v est irréductible (c'est le corps quotient de A par l'unique idéal maximal de A) ;
• P est un polynome d'Eisenstein : tous les coefficients de P (sauf évidemment celui du monôme de plus haut degré) sont de valuation > 0, la valuation du coefficient libre P(0) de P étant de plus astreinte à être de valuation ≤ 1.

La discussion précédente se spécialise au cas des corps de nombres[24].

Un corps de nombres algébrique est monogène si son anneau d'entiers est monogène, c'est-à-dire engendré par un unique élément entier (un élément primitif de la couverture d'anneau dans la terminologie précédente). Autrement dit, si L est une extension algébrique finie de ℚ et si B désigne l'anneau des entiers de L sur ℚ, L est monogène si B = ℤ[θ].

Par exemple, les corps de nombres quadratiques, ainsi que les corps de nombres cyclotomiques, sont monogènes.

On sait depuis Dedekind qu'il existe des corps de nombres non monogènes, et c'est d'ailleurs le cas en général. Le premier exemple fut donné par Dedekind : il s'agit du corps engendré sur ℚ par une racine du polynôme X³ + X² - 2X + 8. On peut aussi montrer que le corps de nombre ℚ(³√175) n'est pas monogène[25].

Une condition nécessaire pour qu'un corps de nombres soit monogène, d'élément primitif associé θ, est que le discriminant du corps L soit égal au discriminant du polynôme minimal de θ sur ℚ.

Si ${\displaystyle P(X_{1},X_{2},...,X_{n})}$ est un polynôme de n variables, non identiquement nul, et si K est infini, alors il existe ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in K}$ tels que ${\displaystyle P(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\neq 0}$.

En effet, on peut considérer P comme un polynôme de la variable ${\displaystyle X_{1}}$ sur le corps ${\displaystyle K(X_{2},\ldots ,X_{n})}$. Comme ce polynôme n'a qu'un nombre fini de racines, tandis que K est infini, il existe ${\displaystyle a_{1}}$ tel que ${\displaystyle P(a_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ ne soit pas identiquement nul. En considérant de même ${\displaystyle P(a_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ comme un polynôme de la variable ${\displaystyle X_{2}}$ sur le corps ${\displaystyle K(a_{1},X_{3},\ldots ,X_{n})}$, et en faisant de même pour les autres variables, on démontre de proche en proche l'assertion proposée.

Si ${\displaystyle \zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n}}$ sont les n racines d'un polynôme P irréductible sur K, et si ${\displaystyle f(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})}$ est une expression polynomiale symétriques en les ${\displaystyle \zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n}}$, alors ${\displaystyle f=F(\zeta _{1})}$, pour un certain polynôme F à coefficient dans K.

La preuve dépend du théorème fondamental des polynômes symétriques, qui implique que f est fonction de ${\displaystyle \zeta _{1}}$ et des fonctions symétriques des ${\displaystyle \zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n}}$. Ces fonctions symétriques sont, au signe près, égales aux coefficients du polynôme ${\displaystyle (X-\zeta _{2})(X-\zeta _{3})\cdots (X-\zeta _{n})}$. Or ce polynôme est égal à ${\displaystyle P/(X-\zeta _{1})}$, donc ses coefficients appartiennent à ${\displaystyle K(\zeta _{1})}$ en vertu de la division euclidienne.

Ce lemme (ou une méthode équivalente) est nécessaire pour expliciter un point délicat de la démonstration de Galois, dont la preuve a été omise par ce dernier. Cette partie de la restitution de la démonstration est donc essentiellement conjecturale. Il stipule que si ${\displaystyle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}}$ sont les n racines d'un polynôme irreductible P sur K, alors il existe, pour tout i,j, un K-automorphisme ${\displaystyle \varphi }$ de L/K qui échange ${\displaystyle \zeta _{i}}$ et ${\displaystyle \zeta _{j}}$. De nos jours, on peut démontrer cette assertion en utilisant d'abord le fait que ${\displaystyle K(\zeta _{i})}$ et ${\displaystyle K(\zeta _{j})}$ sont isomorphes à ${\displaystyle K(X)/(P)}$, ce qui permet d'étendre l'automorphisme identité en un monomorphisme de corps qui échange ${\displaystyle \zeta _{i}}$ avec ${\displaystyle \zeta _{j}}$, puis en étendant de proche en proche (de façon quelconque) ce monomorphisme par le même moyen, jusqu'à obtenir l'automorphisme désiré. Pour Galois, qui ne pouvait définir la notion d'automorphisme (le concept de correspondance n'était pas même formulé de son temps), il s'agissait de permutations des racines dans une expression algébrique. Il se peut qu'il entrevoyait clairement que ces permutations se répercutaient tout au long des calculs, pour donner des opérations homomorphiques. Il se peut aussi (et c'est même plus probable) qu'il avait raisonné dans une extension finie du type ${\displaystyle K(X_{1},\ldots ,X_{n})/K(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})}$, où les ${\displaystyle \sigma _{i}}$ sont les fonctions symétriques des ${\displaystyle X_{i}}$. Par un jeu assez subtil (mais tout à fait à la portée de Galois) entre permutations des variables et substitution des n racines ${\displaystyle \zeta _{i}}$ d'un polynôme irréductible à la place de ces variables, il pourrait avoir justifié le point délicat de la démonstration sans avoir recours à une quelconque intuition du théorème d'extension des automorphismes. Quoi qu'il en soit, par souci de commodité, c'est ce théorème d'extension qui sera utilisé dans l'exposition de sa preuve.

Ceci étant posé, soient ${\displaystyle \zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n}}$ les n racines du polynôme P dont L est le corps de décomposition. D'abord, on choisit un polynôme ${\displaystyle R(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ sur ${\displaystyle K}$ qui prenne des valeurs différentes pour chaque substitution d'une permutation des ${\displaystyle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n};}$ par exemple (se contente de dire Galois), on peut choisir ${\displaystyle R=a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+\cdots a_{n}X_{n},}$ où les ${\displaystyle a_{i}}$ sont convenablement choisis. Pour justifier cette assertion, on utilise le lemme 1: en définissant le polynôme ${\displaystyle R'(A_{1},\ldots ,A_{n})}$ par ${\displaystyle R'=A_{1}\zeta _{1}+\ldots A_{n}\zeta _{n},}$ il suffit de considérer le polynôme produit des polynômes ${\displaystyle {R'}^{\sigma _{i}}-{R'}^{\sigma _{j}}\ (i\neq j),}$ où ${\displaystyle \{\sigma _{i}\}}$ désigne l'ensemble des permutations de ${\displaystyle 1,2,\ldots n,}$ et ${\displaystyle {R'}^{\sigma _{k}}}$ le polynôme obtenu en appliquant la permutation ${\displaystyle \sigma }$ aux index des variables ${\displaystyle \zeta _{i}}$ dans ${\displaystyle R'.}$

Il s'agit maintenant de démontrer que l'élément ${\displaystyle \theta =R(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})}$ est l'élément primitif souhaité. Une quantité littérale ${\displaystyle V}$ étant donnée, on construit l'expression algébrique ${\displaystyle E=\Pi _{\sigma \in G}(V-R(\zeta _{\sigma (1)},\ldots ,\zeta _{\sigma (n)}),}$ où ${\displaystyle G}$ est l'ensemble des permutations de ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$ qui laissent fixe ${\displaystyle 1}$. Autrement dit, ${\displaystyle E}$ est le produit des termes ${\displaystyle V-R}$ où l'on permute les ${\displaystyle \zeta _{i}}$ dans ${\displaystyle R}$ de toutes les façons possibles, en laissant toutefois fixe ${\displaystyle \zeta _{1}}$. Compte tenu du lemme 2, ${\displaystyle E=F(V,\zeta _{1})}$ pour un certain polynôme ${\displaystyle F(V,X)}$ sur ${\displaystyle K.}$

Maintenant, il est clair que ${\displaystyle F(\theta ,\zeta _{1})=0}$ puisque ${\displaystyle G}$ contient évidemment la permutation identité. Galois affirme alors qu'il est impossible que ${\displaystyle F(\theta ,\zeta _{i})=0}$ pour ${\displaystyle i\neq 1,}$ sans quoi (dit-il), ${\displaystyle R}$ prendrait deux valeurs identiques pour deux permutations différentes, ce qui est contre l'hypothèse. Ici, c'est le lemme 3 qui est utilisé par Galois : on se donne un automorphisme ${\displaystyle \varphi }$ qui échange ${\displaystyle \zeta _{1}}$ et ${\displaystyle \zeta _{i},}$ et on l'applique aux deux membres de l'équation ${\displaystyle F(V,\zeta _{1})=\Pi _{\sigma \in G}(V-R(\zeta _{\sigma (1)},\ldots ,\zeta _{\sigma (n)}).}$ En notant abusivement par la même lettre ${\displaystyle \varphi }$ la permutation de ${\displaystyle 1,\ldots n}$ qui représente ${\displaystyle \varphi }$ en termes de permutations des ${\displaystyle \zeta _{i},}$ on obtient ${\displaystyle F(V,\zeta _{i})=\Pi _{\sigma \in G}(V-R(\zeta _{\varphi \sigma (1)},\ldots ,\zeta _{\varphi \sigma (n)}).}$ Comme ${\displaystyle \varphi \sigma (1)=i\neq 1,}$ il est impossible (en vertu du choix de ${\displaystyle R}$) qu'un des termes ${\displaystyle R(\zeta _{1},\ldots )-R(\zeta _{\varphi \sigma (1)},\ldots )}$ soit égal à ${\displaystyle 0,}$ et donc que ${\displaystyle F(\theta ,\zeta _{i})=0,}$ ce qui explique l'assertion de Galois.

Finalement, vu que ${\displaystyle F(\theta ,\zeta _{1})=0,}$ le polynôme ${\displaystyle F(\theta ,X)}$ d'une variable ${\displaystyle X}$ a un facteur commun avec ${\displaystyle P}$. Ce facteur ne peut être que ${\displaystyle X-\zeta _{1},}$ puisque ${\displaystyle F(\theta ,\zeta _{i})\neq 0}$ pour tout ${\displaystyle i\neq 1}$. Ainsi, ${\displaystyle X-\zeta _{1}}$ s'obtient par simple extraction de P.G.C.D entre le polynôme ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle F(\theta ,X),}$ et ${\displaystyle \zeta _{1}}$ est donc une fraction rationnelle de ${\displaystyle \theta }$ sur ${\displaystyle K.}$

On démontrerait de la même manière que ${\displaystyle \zeta _{i}}$ s'exprime rationnellement en fonction de ${\displaystyle \theta ,}$ pour tout autre ${\displaystyle i>1,}$ donc ${\displaystyle K(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})=K(\theta ).}$

Sans même supposer la normalité de ${\displaystyle L/K}$, la démonstration de Galois peut être largement améliorée et simplifiée, en se basant uniquement sur le théorème des fonctions symétriques : Par induction, il suffit de démontrer que toute extension de la forme ${\displaystyle L=K(\alpha ,\beta )}$ est simple. Soient ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}}$ les conjugués de ${\displaystyle \alpha }$ sur ${\displaystyle K}$, avec ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha }$, et ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}$ les conjugués de ${\displaystyle \beta }$ sur ${\displaystyle K}$, avec ${\displaystyle \beta _{1}=\beta }$. Puisque ${\displaystyle L/K}$ est séparable, ${\displaystyle \alpha _{i}\neq \alpha _{j}}$ et ${\displaystyle \beta _{i}\neq \beta _{j}}$ pour tout ${\displaystyle i\neq j}$. Le polynôme ${\displaystyle R(X)=\Pi _{(i,j)\neq (i',j')}{\big (}\alpha _{i}-\beta _{j}X-(\alpha _{i'}-\beta _{j'}X){\big )}}$ n'est pas identiquement nul, donc, puisque ${\displaystyle K}$ est infini, il existe ${\displaystyle \lambda \in K}$ tel que les ${\displaystyle \alpha _{i}+\lambda \beta _{j}}$ soient tous distincts les uns des autres. Posons ${\displaystyle \theta =\alpha +\lambda \beta }$. On forme l'expression ${\displaystyle E=\Pi _{j}(V-\alpha -\lambda \beta _{j})}$, qui, étant symétrique en les ${\displaystyle \beta _{j}}$, est égale à ${\displaystyle P(V,\alpha )}$ pour un certain polynôme ${\displaystyle P(V,X)}$ sur ${\displaystyle K}$ (théorème des fonctions symétriques). On a évidemment ${\displaystyle P(\theta ,\alpha )=0}$, et en vertu du choix de ${\displaystyle \lambda }$, il est clair que ${\displaystyle P(\theta ,\alpha _{i})\neq 0}$ pour tout ${\displaystyle i>1}$; donc ${\displaystyle X-\alpha }$ peut être obtenu par simple extraction de P.G.C.D. entre ${\displaystyle P(\theta ,X)}$ et le polynôme minimal de ${\displaystyle \alpha }$ sur ${\displaystyle K}$. Ainsi, ${\displaystyle \alpha }$, et par suite ${\displaystyle \beta =(\theta -\alpha )/\lambda }$ est une fonction rationnelle de ${\displaystyle \theta }$ : ${\displaystyle K(\alpha ,\beta )=K(\theta )}$.

Ici, le point délicat de la démonstration de Galois a été « court-circuité, » parce qu'on a supposé que les ${\displaystyle \beta _{i}}$ étaient les conjugués de ${\displaystyle \beta }$ sur ${\displaystyle K}$ et non pas sur ${\displaystyle K(\alpha )}$.

• Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions]
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
• (en) Michael D. Fried et Moshe Jarden, Field Arithmetic, Springer, 2008, 3^e éd. (lire en ligne)
• Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail de l’édition]
• (en) B. L. van der Waerden, Modern Algebra, vol. 1, New York, Frederick Ungar, 1949