Théorème de l'enveloppe

Notons ${\displaystyle f(x,\alpha )}$ et ${\displaystyle g_{j}(x,\alpha ),j=1,2,\ldots ,m}$ valeurs réelles sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+l}}$ et ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ sont des variables et ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{l}}$ sont des paramètres. On considère le problème de trouver ${\displaystyle x}$ pour une certaine valeur de ${\displaystyle \alpha }$ :

${\displaystyle \max _{x}f(x,\alpha )}$ sachant que ${\displaystyle g_{j}(x,\alpha )\geq 0,j=1,2,\ldots ,m}$ et ${\displaystyle x\geq 0}$.

L'expression du Lagrangien de ce problème est

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,\lambda ,\alpha )=f(x,\alpha )+\lambda \cdot g(x,\alpha )}$

où ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{m}}$ sont les multiplicateurs de Lagrange. Soit ${\displaystyle x^{\ast }(\alpha )}$ et ${\displaystyle \lambda ^{\ast }(\alpha )}$ la solution qui maximise la fonction objective f sous réserve des contraintes (et donc sont des points col du Lagrangien),

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\ast }(\alpha )\equiv f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha )+\lambda ^{\ast }(\alpha )\cdot g(x^{\ast }(\alpha ),\alpha ),}$

et on définit la valeur de la fonction

${\displaystyle V(\alpha )\equiv f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha ).}$

Ensuite, nous avons le théorème suivant[2] - [3].

Théorème: Supposons que ${\displaystyle V}$ et ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ sont des fonctions continûment dérivables.

${\displaystyle {\frac {\partial V(\alpha )}{\partial \alpha _{k}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}^{\ast }(\alpha )}{\partial \alpha _{k}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}(x^{\ast }(\alpha ),\lambda ^{\ast }(\alpha ),\alpha )}{\partial \alpha _{k}}},k=1,2,\ldots ,l}$

où ${\displaystyle \partial {\mathcal {L}}/\partial \alpha _{k}=\partial f/\partial \alpha _{k}+\lambda \cdot \partial g/\partial \alpha _{k}}$

• Lemme de Hotelling
• Identité de Roy