Théorème de différentiation de Fubini

Si, pour tout entier naturel n,

${\displaystyle f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} }$

est une fonction croissante et si

${\displaystyle \forall x\in [a,b],~f(x):=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)\in \mathbb {R} }$

alors, pour presque tout x ∈ [a, b],

${\displaystyle f'(x)=\sum _{n\in \mathbb {N} }f_{n}'(x).}$

On utilise ici que toute fonction monotone est dérivable presque partout.

On[1] - [2] se ramène sans peine au cas où toutes les f_n sont positives (en retranchant à chacune sa valeur en a) et où

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,~\sum _{k>n}f_{k}(b)\leq 2^{-n}}$

(en regroupant des termes consécutifs de la série).

La somme g des fonctions croissantes g_n définies par

${\displaystyle g_{n}(x)=\sum _{k>n}f_{k}(x)}$

est alors finie (positive et majorée par 2) et l'on a, presque partout :

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }g'_{n}(x)\leq g'(x)<+\infty {\text{ donc }}\lim _{n\to \infty }\left(f'(x)-\sum _{k\leq n}f'_{k}(x)\right)=\lim _{n\to \infty }g'_{n}(x)=0.}$

Le cas particulier suivant n'utilise pas le théorème de dérivabilité presque partout des fonctions monotones et peut, au contraire, servir de lemme pour ce théorème[3] - [4]. Il s'agit du cas où f est une « fonction de saut », c'est-à-dire où chaque f_n est de la forme :

• ${\displaystyle f_{n}(x)=0}$ si ${\displaystyle x<a_{n},}$
• ${\displaystyle f_{n}(x)=b_{n}}$ si ${\displaystyle x>a_{n}}$ et
• ${\displaystyle 0\leq f_{n}(a_{n})\leq b_{n}.}$

Avec les notations de la section précédente, on déduit en effet directement de l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood que

${\displaystyle \forall c>0,\lambda ([{\overline {D}}g_{n}\geq c])\leq 2^{1-n}/c}$

où D désigne la dérivée supérieure de Dini (bilatérale). Or, presque partout,

${\displaystyle {\overline {D}}g_{n}={\overline {D}}\left(f-\sum _{k\leq n}f_{k}\right)={\overline {D}}f-\sum _{k\leq n}f'_{k}={\overline {D}}f.}$

Par conséquent,

${\displaystyle \forall c>0,\lambda ([{\overline {D}}f\geq c])\leq \inf _{n\in \mathbb {N} }2^{1-n}/c=0{\text{ donc }}f'=0~\lambda {\text{-p.p.}}}$