Théorème de Soddy

Soient trois cercles tangents extérieurement deux à deux. Il existe alors au moins un autre cercle tangent aux trois premiers.

Il peut y avoir un cercle tangent extérieur ou (non exclusif) un cercle tangent intérieur. Soddy a établi la relation entre les rayons des cercles : si ${\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3},R_{4}\,}$ sont les rayons des trois premiers cercles et de l'un des quatrièmes cercles possibles, on a :

${\displaystyle {\frac {1}{R_{1}^{2}}}+{\frac {1}{R_{2}^{2}}}+{\frac {1}{R_{3}^{2}}}+{\frac {1}{R_{4}^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+{\frac {1}{R_{4}}}\right)^{2}}$

Les rayons des cercles intérieur R_i et extérieur R_o s'écrivent alors :

${\displaystyle R_{i}={\frac {\Delta }{4R+r+2s}},\ R_{o}={\frac {\Delta }{4R+r-2s}}}$

avec R le rayon du cercle circonscrit, r le rayon du cercle inscrit, s le semi-périmètre du triangle formé par les centres des trois premiers cercles, et Δ, son aire.

Les triangles de Soddy sont les triangles pour lesquels le cercle de Soddy extérieur est dégénéré en une droite[2]. On peut démontrer que tous les triangles de Soddy sont des triangles de Héron.