Théorème de Kronecker (approximation diophantienne)

Un énoncé du théorème est le suivant (il en existe d'autres, plus généraux)[1] :

Soient a = (a₁, … a_n) un n-uplet de nombres réels et t son image dans le groupe quotient ℝⁿ/ℤⁿ. Le sous-groupe de ℝⁿ/ℤⁿ engendré par cet élément t est dense dans ce groupe topologique si et seulement si les n + 1 réels 1, a₁, … a_n sont ℚ-linéairement indépendants.

Le fait que cette condition est nécessaire est immédiat. Qu'elle est suffisante se traduit plus concrètement par :

Si les n + 1 réels 1, a₁, … a_n sont ℚ-linéairement indépendants alors,
pour tous réels b₁, … , b_n et tout ε > 0, il existe un entier relatif q tel que

d(qa_k – b_k, ℤ) < ε pour k = 1, … , n.

Le théorème d'approximation de Dirichlet concerne le cas où tous les b_k sont nuls et garantit alors, sans hypothèse d'indépendance, l'existence d'un tel entier q, avec de plus q minoré par 1 et majoré explicitement en fonction de ε.

La démonstration originelle de Leopold Kronecker[2] est difficile à lire. Kurt Mahler[3] en a fourni une autre grâce à sa théorie géométrique des nombres. En voici une moins conceptuelle mais extrêmement simple[4].

Notons ║ ║ la norme « infini » sur ℝⁿ, c'est-à-dire le maximum des valeurs absolues des composantes. Il s'agit de montrer, sous les hypothèses du théorème, qu'il existe un entier q tel que la distance d(qa – b, ℤⁿ) pour cette norme soit inférieure à ε. On raisonne par récurrence sur n (pour n = 0, il n'y a rien à démontrer).

Le théorème de Dirichlet fournit un entier non nul s et un n-uplet p d'entiers tels que le n-uplet a' = sa – p soit de norme inférieure à ε.

D'après l'hypothèse sur a, le réel a'_n est non nul et les n réels 1, a'₁/a'_n, … , a'_{n – 1}/a'_n sont ℚ-linéairement indépendants. Par hypothèse de récurrence, il existe donc un entier m tel que le réel r = (b_n + m)/a'_n vérifie : d(ra'_k – b_k, ℤ) < ε/2 pour k = 1, … , n – 1. Comme de plus d(ra'_n – b_n, ℤ) = 0, on a donc d(ra' – b, ℤⁿ) < ε/2.

Soit t l'entier le plus proche du réel r, alors q = ts convient car d(tsa – b, ℤⁿ) = d(ta' – b, ℤⁿ) ≤ ║(t – r)a'║ + d(ra' – b, ℤⁿ) < ε/2 + ε/2 = ε.

• Groupe monothétique (en)
• Dualité de Pontryagin