Théorème de Herbrand-Ribet

Le théorème de Herbrand-Ribet renforce le théorème de Kummer selon lequel le nombre premier p divise le nombre de classes du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité si et seulement si p divise le numérateur du n-ième nombre de Bernoulli B_n pour un certain entier n strictement compris entre 0 et p-1. Le théorème de Herbrand-Ribet précise ce que veut dire, en particulier, l'éventuelle divisibilité par p de B_n.

Le groupe de Galois ${\displaystyle \Sigma }$ du corps cyclotomique des racines p-ièmes de l'unité pour un nombre premier impair p, ℚ(ζ) avec ${\displaystyle \zeta ^{p}=1}$, est constitué des ${\displaystyle p-1}$ éléments ${\displaystyle \sigma _{a}}$, où ${\displaystyle \sigma _{a}}$ est défini par le fait que ${\displaystyle \sigma _{a}(\zeta )=\zeta ^{a}}$. Comme conséquence du petit théorème de Fermat, dans l'anneau des entiers p-adiques ℤ_p, nous avons ${\displaystyle p-1}$ racines de l'unité, chacune d'elles est congrue mod p à un certain nombre dans l'intervalle 1 à p - 1 ; nous pouvons par conséquent définir un caractère de Dirichlet ${\displaystyle \omega }$ (le caractère de Teichmüller) à valeurs dans ℤ_p en requérant que pour n premier à p, ω(n) soit congru à n modulo p. Le p-composant[1] du groupe de classes, c'est-à-dire le sous-groupe de ce groupe formé par les éléments dont les ordres sont des puissances de p, est un ℤ_p-module, et nous pouvons appliquer les éléments de l'anneau ℤ_p[Σ] vers elle et obtenir les éléments du groupe de classes. Nous pouvons maintenant définir un élément idempotent de l'anneau pour chaque n de 1 à p - 1, comme

${\displaystyle \epsilon _{n}={\frac {1}{p-1}}\sum _{a=1}^{p-1}\omega (a)^{n}\sigma _{a}^{-1}}$.

Nous pouvons maintenant séparer la p-composante du groupe G des classes d'idéaux de ℚ(ζ) par identification des idempotents ; si G est le groupe des classes d'idéaux, alors ${\displaystyle G_{n}=\epsilon _{n}(G)}$.

Alors, nous avons le théorème de Herbrand-Ribet : ${\displaystyle G_{n}}$ est non trivial si et seulement si p divise le nombre de Bernoulli ${\displaystyle B_{p-n}}$. La partie exprimant p divise ${\displaystyle B_{p-n}}$ si ${\displaystyle G_{n}}$ est non trivial est due à Jacques Herbrand. La réciproque (si ${\displaystyle p}$ divise ${\displaystyle B_{p-n}}$ alors ${\displaystyle G_{n}}$ est non trivial) est due à Ken Ribet, et est considérablement plus difficile. Par la théorie des corps de classes, ceci n'est possible que s'il existe une extension non ramifiée du corps des racines ${\displaystyle p}$-ièmes de l'unité par une extension cyclique de degré ${\displaystyle p}$ qui se comporte de la manière prescrite sous l'action de ${\displaystyle \Sigma }$ ; Ribet démontra ceci en 1976, par une construction concrète d'une telle extension.

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