Théorème de Fenchel-Moreau

En analyse convexe, le théorème de Fenchel–Moreau (nommé d'après Werner Fenchel et Jean-Jacques Moreau) ou théorème de biconjugation de Fenchel (ou juste théorème de biconjugation) est un théorème qui donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction soit égale à sa biconjuguée. Ce résultat est à mettre en contraste avec l’inégalité v[1] - [2]. Ce théorème peut être vu comme une généralisation du théorème bipolaire[1]. Il est utilisé pour prouver la dualité forte (en) (à l'aide de fonction de perturbation).

Illustration d'une fonction qui n'est pas semi-continue inférieure. D'après le théorème de Fenchel-Moreau, cette fonction n'est pas égale à sa biconjuguée.

Énoncé du théorème

Soit $(X,\tau )$ un espace de Hausdorff localement convexe, pour toute fonction $f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ à valeur dans la droite réelle achevée, on a $f=f^{**}$ si et seulement si l'une des conditions suivantes est vraie

$f$ est une fonction semi-continue inférieure convexe propre,
$f\equiv +\infty$ , ou
$f\equiv -\infty$ [1] - [3] - [4].

Références

(en) Jonathan Borwein et Adrian Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization : Theory and Examples, New York, Springer, 2006, 2^e éd., 76–77 p. (ISBN 978-0-387-29570-1, lire en ligne)
(en) Constantin Zălinescu, Convex analysis in general vector spaces, River Edge, NJ, World Scientific PublishingCo.,Inc., 2002, 75–79 p. (ISBN 981-238-067-1, MR 1921556), « J »
Hang-Chin Lai et Lai-Jui Lin, « The Fenchel-Moreau Theorem for Set Functions », American Mathematical Society, vol. 103, n^o 1,‎ mai 1988, p. 85-90 (DOI 10.2307/2047532)
Shozo Koshi et Naoto Komuro, « A generalization of the Fenchel–Moreau theorem », Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., vol. 59, n^o 5,‎ 1983, p. 178–181

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