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Théorème de Chudnovsky

Le théorème de Chudnovsky est un théorème qui montre sous certaines conditions qu'une fonction continue est limite uniforme de fonctions polynomiales à coefficients entiers. C'est un raffinement du théorème de Stone-Weierstrass.

Énoncé

Soit une fonction continue définie sur un segment ne contenant pas d'entiers. Alors il existe une suite de polynômes à coefficients entiers convergeant uniformément vers sur .

Idée de la démonstration

Ramenons-nous au cas où . La première étape de la preuve consiste à montrer modestement que la fonction constante est limite uniforme de polynômes à coefficients entiers. On peut même expliciter cette suite de polynômes par :

.

Dans un deuxième temps, on élargit ce résultat à toutes les fonctions constantes : en effet, les applications continues de dans muni de la norme uniforme forment une algèbre sur que l'on note . L'ensemble des limites uniformes de polynômes à coefficients entiers est un fermé contenant toutes les fonctions constantes vers un nombre dyadique.

Mais les nombres dyadiques sont denses dans , donc contient toutes les fonctions constantes. Mais c'est aussi une algèbre qui contient et , elle contient donc , et par fermeture . Or le théorème de Stone-Weierstrass nous assure que .

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