Théorème de Chudnovsky

Soit ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ une fonction continue définie sur un segment ${\displaystyle I=[a,b]}$ ne contenant pas d'entiers. Alors il existe une suite ${\displaystyle (P_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ de polynômes à coefficients entiers convergeant uniformément vers ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle I}$.

Ramenons-nous au cas où ${\displaystyle [a,b]\subseteq {}]0,1[}$. La première étape de la preuve consiste à montrer modestement que la fonction constante ${\displaystyle x\in {}[a,b]\mapsto 1/2}$ est limite uniforme de polynômes à coefficients entiers. On peut même expliciter cette suite ${\displaystyle (P_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ de polynômes par :

${\displaystyle P_{0}=X,\quad P_{n+1}=2(1-P_{n})P_{n}}$.

Dans un deuxième temps, on élargit ce résultat à toutes les fonctions constantes : en effet, les applications continues de ${\displaystyle [a,b]}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ muni de la norme uniforme forment une algèbre sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ que l'on note ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. L'ensemble des limites uniformes de polynômes à coefficients entiers ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} [X]}}}$ est un fermé contenant toutes les fonctions constantes vers un nombre dyadique.

Mais les nombres dyadiques sont denses dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, donc ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} [X]}}}$ contient toutes les fonctions constantes. Mais c'est aussi une algèbre qui contient ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle \mathbb {R} }$, elle contient donc ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$, et par fermeture ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} [X]}}}$. Or le théorème de Stone-Weierstrass nous assure que ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} [X]}}={\mathcal {C}}}$.