Théorème de Bombieri-Vinogradov

Soit A un nombre réel positif quelconque. Alors

${\displaystyle \sum _{q\leq Q}\max _{y\leq x}\max _{1\leq a\leq q \atop (a,q)=1}\left|\psi (y;q,a)-{y \over \varphi (q)}\right|=o\left(x^{1/2}Q(\log x)^{5}\right)\,}$

si

${\displaystyle x^{1/2}\log ^{-A}x\leq Q\leq x^{1/2}\,}$.

Ici, ${\displaystyle \varphi (q)\,}$ est l'indicatrice d'Euler, qui est le nombre de termes pour le module q, et

${\displaystyle \psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a\mod q}\Lambda (n)\,}$

où ${\displaystyle \Lambda }$ désigne la fonction de von Mangoldt.

Une description informelle de ce résultat est qu'il concerne le terme d'erreur dans le théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques, pris en moyenne sur les modules q variant jusqu'à Q. Pour un certain intervalle de valeurs de Q, qui vaut environ ${\displaystyle {\sqrt {x}}\,}$ si nous négligeons les facteurs logarithmiques, l'erreur moyenne est presque aussi petite que ${\displaystyle {\sqrt {x}}\,}$. Ceci n'est pas vraiment évident, et sans faire la moyenne, c'est environ de la force de l'hypothèse de Riemann généralisée.

(en) Robert C Vaughan, « The Bombieri–Vinogradov theorem », https://citeseerx.ist.psu.edu/, 1965

• Conjecture d'Elliott-Halberstam
• Théorème de Vinogradov, nommé d'après Ivan Vinogradov