Théorème d'Auslander-Buchsbaum
En algèbre commutative, le théorème d'Auslander-Buchsbaum aussi appelé théorème d'Auslander-Buchsbaum-Serre dit qu'un anneau local régulier est un anneau factoriel.
Historique
L'historique de la preuve est donnée dans la discussion sur Mathoverflow[1] de 2011. La première preuve de ce théorème est de Maurice Auslander et David Buchsbaum et date de 1959[2]. Ils ont montré que les anneaux locaux réguliers de dimension 3 sont des anneaux factoriels, et Masayoshi Nagata avait précédemment montré[3] que cela implique que tous les anneaux locaux réguliers sont factoriels. L'un des lemmes essentiels à la preuve a été démontré par Jean-Pierre Serre[4], et le résultat lui-même est d'abord anonncé par les auteurs en 1959, puis démontré en 1959. Kaplansky[5] partage les contributions comme suit : « The big theorem was proved by Auslander, Buchsbaum and Serre. (The Auslander-Buchsbaum portion was announced in 1956, with full details in 1959; Serre finished the job in 1956.) ».
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Auslander–Buchsbaum theorem » (voir la liste des auteurs).
Bibliographie
- Maurice Auslander et David A. Buchsbaum, « Homological dimension in noetherian rings », Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 42, , p. 36–38 (JSTOR 90213, MR 0103906).
- Maurice Auslander et David A. Buchsbaum, « Unique factorization in regular local rings », Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 45, no 5, , p. 733–734 (DOI 10.1073/pnas.45.5.733
, JSTOR 90213, MR 0103906). - Masayoshi Nagata, « A general theory of algebraic geometry over Dedekind domains. II. Separably generated extensions and regular local rings », American Journal of Mathematics, vol. 80, no 2, , p. 382–420 (ISSN 0002-9327, DOI 10.2307/2372791, JSTOR 2372791, MR 0094344).
- M. Quentel, « Sur le théorème d'Auslander - Buchsbaum », Publications mathématiques et informatique de Rennes, no 4, Exposé no. 17, 9 p., (lire en ligne).
- David Buchsbaum, Hailong Dao et al, « Serre's theorem about regularity and homological dimension », Mathoverflow, 12 juillet 2011 et suiv. (consulté le ).
- Jean-Pierre Serre, « Sur la dimension homologique des anneaux et des modules noethériens », Proceedings of the international symposium on algebraic number theory (Tokyo & Nikko 1955), Tokyo & Nikko, Science Council of Japan, Tokyo,, , p. 175–189.
- Irving Kaplansky, « Commutative rings », Lecture Notes in Mathematics, Springer, vol. 311 « Conference on Commutative Algebra (Univ. Kansas, Lawrence, Kan., 1972) », , p. 153–166.