Théorème d'extension de Kolmogorov

Soit ${\displaystyle I}$ un ensemble utilisé pour l'indexation, et ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ un espace mesurable, ${\displaystyle E}$ muni d'une topologie de Hausdorff. On se donne pour toute sous-famille finie ${\displaystyle J}$ de ${\displaystyle I}$ une mesure de probabilité ${\displaystyle {\pi }_{J}}$ intérieurement régulière sur l'espace ${\displaystyle (E^{J},{\mathcal {E}}^{J})}$.

Notons alors pour ${\displaystyle I\supset J\supset K}$ la projection canonique de ${\displaystyle E^{J}}$ sur ${\displaystyle E^{K}}$, ${\displaystyle p_{JK}}$.

On suppose que pour tout ${\displaystyle K\subset J}$ on a ${\displaystyle \pi _{K}=\pi _{J}\circ p_{JK}^{-1}}$. Alors il existe un espace de probabilité ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ et un processus stochastique ${\displaystyle X:I\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ tels que

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{J}\in A)=\pi _{J}(A)}$ pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {E}}^{J}}$ et ${\displaystyle J}$ un sous ensemble fini de ${\displaystyle I}$.