Temps d'arrêt

Imaginons que ${\textstyle {\mathcal {F}}_{n}\ }$ désigne ici la tribu engendrée par la suite ${\textstyle (X_{k})_{0\leq k\leq n},\ }$ et que les variables aléatoires ${\textstyle X_{k}\ }$ représentent les résultats d'un joueur lors des parties successives d'un jeu. Dans le cas de variables aléatoires à valeurs dans un espace d'états ${\textstyle E\ }$ fini ou dénombrable, une partie ${\textstyle A\subset \Omega \ }$ appartient à ${\textstyle {\mathcal {F}}_{n}\ }$ si et seulement s'il existe ${\textstyle B\subset E^{n+1}\ }$ tel que

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left\{(X_{0},X_{1},\dots ,X_{n})\in B\right\}\\&=\left\{\omega \in \Omega \ |\ \left(X_{k}(\omega )\right)_{0\leq k\leq n}\in B\right\}.\end{aligned}}}$

Supposons que ${\textstyle T\ }$ représente le numéro de la partie après laquelle le joueur décide d'arrêter de jouer : ${\textstyle T\ }$ est donc un temps d'arrêt si et seulement si la décision d'arrêter est prise en fonction des résultats des parties déjà jouées au moment de l'arrêt, i.e. si pour tout ${\textstyle n\ }$ il existe un sous ensemble ${\textstyle B_{n}\subset E^{n+1}\ }$ tel que :

${\displaystyle \{T=n\}\quad \Leftrightarrow \quad \left\{(X_{0},X_{1},\dots ,X_{n})\in B_{n}\right\}.}$

L'instant où le joueur s'arrête est donc un temps d'arrêt si la décision d'arrêt ne tient pas compte des résultats des parties futures, donc sous l'hypothèse que don de double-vue et tricherie sont exclus.

• Soient ${\displaystyle (X_{n})_{n}\geq 0\ }$ une suite de variables aléatoires (un processus stochastique) et T un temps d'arrêt par rapport à une filtration ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}}$. Le processus observé au temps T (ou arrêté au temps T) est noté ${\displaystyle \ X_{T}(\omega ),\ }$ et est défini par

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{T}(\omega )&=X_{T(\omega )}(\omega )\\&=\sum _{n\geq 0}X_{n}(\omega )1\!\!1_{T(\omega )=n}.\end{aligned}}}$

Sur l'ensemble ${\displaystyle \{\omega \in \Omega \,|\,T(\omega )=+\infty \},\ }$ la définition de ${\displaystyle \ X_{T}(\omega )\ }$ est problématique : l'ambigüité est de facto levée en posant ${\displaystyle \ X_{T}(\omega )=0.\ }$

• Soit ${\displaystyle T\,}$ un temps d'arrêt et soit ${\displaystyle N\in \mathbb {N}$ :}
  • ${\displaystyle T\wedge N}$ est la variable aléatoire définie par ${\displaystyle (T\wedge N)(\omega )=\min(T(\omega ),N)\,;}$
  • ${\displaystyle T\vee N}$ est la variable aléatoire définie par ${\displaystyle (T\vee N)(\omega )=\max(T(\omega ),N)\,}$.

Considérons une suite ${\textstyle X=(X_{k})_{k\geq 0}\ }$ de variable aléatoires, à valeurs dans un ensemble ${\textstyle E,\ }$ et notons ${\textstyle {\mathcal {F}}_{n}\ }$ la tribu engendrée par la suite ${\textstyle (X_{k})_{0\leq k\leq n}.\ }$ Les variables aléatoires ci-dessous sont des temps d'arrêt pour la filtration ${\textstyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}}$ :

• Soit ${\textstyle j\ }$ un élément de ${\textstyle E\ }$ ; on appelle instant de premier retour en ${\textstyle j,\ }$ et on note ${\textstyle R_{j},\ }$ la variable aléatoire définie ci-dessous :

${\displaystyle R_{j}=\left\{{\begin{array}{lll}\inf \left\{n>0\,\vert \,X_{n}=j\right\}&&{\textrm {si}}\quad \left\{n>0\,\vert \,X_{n}=j\right\}\neq \emptyset ,\\+\infty &&{\textrm {sinon.}}\end{array}}\right.}$

• De même pour ${\textstyle C\ }$ une partie de ${\textstyle E,\ }$ on appelle instant de première entrée dans ${\textstyle C,\ }$ et on note ${\textstyle T_{C},\ }$ la variable aléatoire ci-dessous définie :

${\displaystyle T_{C}=\left\{{\begin{array}{lll}\inf \left\{n\geq 0\,\vert \,X_{n}\in C\right\}&&{\textrm {si}}\quad \left\{n\geq 0\,\vert \,X_{n}\in C\right\}\neq \emptyset ,\\+\infty &&{\textrm {sinon.}}\end{array}}\right.}$

• L'instant de ${\textstyle k}$-ème retour en ${\textstyle i,\ }$ noté ${\textstyle R_{i}^{(k)}\ }$ et défini par récurrence par :

${\displaystyle R_{i}^{(k)}=\left\{{\begin{array}{lll}\inf \left\{n>R_{i}^{(k-1)}\,\vert \,X_{n}=i\right\}&&{\textrm {si}}\quad \left\{n>R_{i}^{(k)}\,\vert \,X_{n}=i\right\}\neq \emptyset ,\\+\infty &&{\textrm {sinon.}}\end{array}}\right.,}$

ou encore l'instant de ${\textstyle k}$-ème entrée dans ${\textstyle C,\ }$ sont des temps d'arrêt.

• Pour ${\textstyle i\ }$ et ${\textstyle j\ }$ dans ${\textstyle E,\ }$ on pose ${\textstyle T=\inf \left\{n\geq 0\,\vert \,X_{n}=i{\text{ et }}X_{n+1}=j\right\}.\ }$ On peut montrer que ${\textstyle T\ }$ n'est pas un temps d'arrêt, mais que, par contre, ${\textstyle T+1\ }$ est un temps d'arrêt.

• Problème du secrétaire