Suite de Riesz
En mathématiques , une suite de vecteurs (x n espace de Hilbert
(
H
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
suite de Riesz s'il existe des constantes
0
<
c
≤
C
<
+
∞
{\displaystyle 0<c\leq C<+\infty }
c
(
∑
n
|
a
n
|
2
)
≤
‖
∑
n
a
n
x
n
‖
2
≤
C
(
∑
n
|
a
n
|
2
)
{\displaystyle c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}x_{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)}
pour toute suite de scalaires (a n espace ℓ2 .
Une suite de Riesz est appelée base de Riesz
v
e
c
t
(
x
n
)
¯
=
H
{\displaystyle {\overline {\mathop {\rm {vect}} (x_{n})}}=H}
Théorèmes Si H est un espace de dimension finie , alors toute base de H est une base de Riesz.
Soit φ espace L2 R ) , soit
ϕ
n
(
x
)
=
ϕ
(
x
−
n
)
{\displaystyle \phi _{n}(x)=\phi (x-n)}
et soit
φ
^
{\displaystyle {\hat {\varphi }}}
transformée de Fourier de φ c et C telles que
0
<
c
≤
C
<
+
∞
{\displaystyle 0<c\leq C<+\infty }
1.
∀
(
a
n
)
∈
ℓ
2
,
c
(
∑
n
|
a
n
|
2
)
≤
‖
∑
n
a
n
φ
n
‖
2
≤
C
(
∑
n
|
a
n
|
2
)
{\displaystyle 1.\quad \forall (a_{n})\in \ell ^{2},\ \ c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)}
2.
c
≤
∑
n
|
φ
^
(
ω
+
2
π
n
)
|
2
≤
C
{\displaystyle 2.\quad c\leq \sum _{n}\left|{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi n)\right|^{2}\leq C}
La première des conditions ci-dessus est la définition pour que (φ n engendre .
Voir aussi
Références Ole Christensen , « Frames, Riesz bases, and Discrete Gabor/Wavelet expansions », Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society vol. 38, no 3, 2001 , p. 273–291 (lire en ligne )
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