Suite de Jacobsthal
En mathématiques, la suite de Jacobsthal est une suite d'entiers portant le nom du mathématicien allemand Ernst Jacobsthal (en) (1882-1965). Comme la suite de Fibonacci, elle modélise l'accroissement d'une population de lapins.
Sachant qu'un couple de lapins donne naissance à deux nouveaux couples chaque mois et que chaque couple commence à engendrer à partir du deuxième mois suivant sa naissance, on demande le nombre total de couples au n-ième mois.
La suite commence par 0 et 1, puis chaque terme est obtenu en ajoutant le nombre précédent à deux fois le nombre anté-précédent. Les premiers termes en sont donc :
- 0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525,… suite A001045 de l'OEIS.
C'est aussi une suite de Lucas , obtenue pour .
Historique
D'après Knuth, Ernst Jacobsthal n'a probablement jamais vu les valeurs de cette suite. C'est le mathématicien australien Alwyn Francis Horadam qui a utilisé l'appellation « suite de Jacobsthal », car « une suite aussi importante a besoin d'un nom, et il existe une loi qui dit que le nom de quelque chose ne devrait jamais être celui de son découvreur » (loi de Stigler)[1].
Définition et formules
La suite de Jacobsthal est donc définie par récurrence double par :
L'application de la formule de Binet pour les suites récurrentes linéaires donne :
on en déduit les formules de récurrence simples :
d'où :
La fonction génératrice est
La somme des inverses des nombres de Jacobsthal non nuls est environ égale à 2,7186, résultat légèrement supérieur à e.
En prolongeant la suite aux indices négatifs de sorte à avoir , pour tout entier relatif , on a :
-
- et
-  A139818
Suite de Jacobsthal-Lucas
La suite de Jacobsthal-Lucas est la suite de Lucas associée à la précédente : . Seules les valeurs initiales diffèrent :
Récurrence simple :
Formule générale:
Les premières valeurs sont:
Nombres oblongs de Jacobsthal
Ce sont les produits de deux termes consécutifs : .
Premières valeurs : : 0, 1, 3, 15, 55, 231,… suite A084175 de l'OEIS.
Notes et références
- (en) Neil Sloane, « Jacobsthal sequence » (consulté le ).
Liens externes
- (en) Eric W. Weisstein, « Jacobsthal Number », sur MathWorld