Subdivision d'un intervalle

• Une telle subdivision est dite adaptée à une fonction en escalier f sur [a, b] si f est constante sur chaque sous-intervalle ]x_{i – 1}, x_i[, pour i = 1, … , n.
• Un raffinement d'une subdivision P est une subdivision Q du même intervalle, formée en rajoutant des points. On dit alors que Q est plus fine que P. On définit ainsi un ordre partiel sur les subdivisions d'un intervalle.
• Le raffinement commun de deux subdivisions est la subdivision formée en prenant la réunion des deux ensembles de points et en les renumérotant par ordre croissant.
• Un marquage d'une subdivision x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n est la donnée supplémentaire d'un point dans chaque sous-intervalle, c'est-à-dire de points t_i ∈ [x_{i – 1}, x_i], pour i = 1, … , n. À toute fonction f sur un intervalle et toute subdivision marquée de cet intervalle est associée une somme de Riemann[1].
• De même que pour les subdivisions, on définit un ordre partiel naturel sur les subdivisions marquées.
• Le pas d'une subdivision x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n est la plus grande des longueurs des sous-intervalles, c'est-à-dire : max{ |x_i – x_{i – 1}| : i = 1, … , n }. L'intégrale de Riemann de f est (si elle existe) la limite des sommes de Riemann quand le pas tend vers 0.

Pour définir les intégrales multiples de Riemann, la généralisation en dimension n[2]…

• … d'un segment est un pavé fermé, c'est-à-dire un produit P = I₁ × … × I_n de n segments I_j = [a_j, b_j] (par exemple un parallélogramme si n = 2 ou un parallélépipède si n = 3).
• Le volume de P est le produit des longueurs de ces segments : vol(P) = ∏_{1 ≤ j ≤ n} (b_j – a_j).
• Le diamètre de P est le maximum de ces longueurs : δ(P) := max_{1 ≤ j ≤ n} (b_j – a_j).
• L'intérieur de P est le pavé ouvert produit des intervalles ouverts bornés ]a_j, b_j[.
• Une subdivision de P est une famille finie u = (P_k)_{1 ≤ k ≤ M} de pavés fermés dont les intérieurs sont disjoints et dont la réunion est égale à P. On a alors : vol(P) = ∑_{1 ≤ k ≤ M} vol(P_k).
• Le pas de u est δ(u) := max_{1 ≤ k ≤ M} δ(P_k).
• Un marquage de u est le choix d'un point dans chaque P_k.
• Un raffinement de u est une subdivision v = (Q_ℓ)_{1 ≤ ℓ ≤ N} telle que chaque P_k soit une réunion de certains Q_ℓ.

, dont la référence était (en) Russell A. Gordon, The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock (en), AMS, coll. « GSM » (n^o 4), 1994, 395 p. (ISBN 978-0-8218-3805-1, lire en ligne).