Sous-groupe de Frattini

On appelle élément superflu[1] (ou encore élément mou[2]) d'un groupe G tout élément ${\displaystyle x}$ de G possédant la propriété suivante : toute partie X de G telle que X∪{x} soit une partie génératrice de G est elle-même une partie génératrice de G.

• Le sous-groupe de Frattini de G est un sous-groupe caractéristique de G.
  Justification. Cela se déduit facilement du fait que l'image d'un sous-groupe maximal de G par un automorphisme de G est encore un sous-groupe maximal de G.

• Soit G un groupe dont le sous-groupe de Frattini est de type fini. (C'est le cas, par exemple, si G est fini.) Si H est un sous-groupe de G tel que G = HΦ(G), alors H = G[4].
  Justification. Puisque Φ(G) est de type fini, nous pouvons choisir des éléments x₁, … , x_n qui engendrent Φ(G). L'hypothèse G = HΦ(G) entraîne que H∪{x₁, … , x_n} est une partie génératrice de G. Puisque x_n appartient à Φ(G) et est donc un élément superflu de G, il en résulte que H∪{x₁, … , x_{n – 1}} est une partie génératrice de G. De proche en proche, on en tire que H est une partie génératrice de G. Puisque H est un sous-groupe de G, ceci revient à dire que H = G.
• La propriété précédente reste vraie si on y remplace l'hypothèse « Φ(G) est de type fini » par l'hypothèse « G est de type fini » : Soit G un groupe de type fini. (C'est le cas, par exemple, si G est fini.) Si H est un sous-groupe de G tel que G = HΦ(G), alors H = G[5].
  Justification. Supposons que H ne soit pas égal à G tout entier. Du fait que G est de type fini, ceci entraîne qu'il existe un sous-groupe maximal M de G qui contient H. Alors M contient à la fois H et (par définition de Φ(G)) Φ(G), donc M contient HΦ(G), ce qui contredit l'hypothèse G = HΦ(G).
• Voici un exemple de groupe G pour lequel il n'est pas vrai que le seul sous-groupe H de G tel que G = HΦ(G) soit G. Prenons pour G un groupe non réduit à son élément neutre et n'ayant aucun sous-groupe maximal. (On sait que c'est le cas par exemple si G est le groupe additif des nombres rationnels.) Alors, par définition du sous-groupe de Frattini, Φ(G) est G tout entier, donc la relation G = HΦ(G) a lieu avec H = 1 < G.
• Soit G un groupe. Si Φ(G) est fini (ce qui a lieu en particulier si G est fini), il est nilpotent[6].
  Justification[7]. Puisque Φ(G) est fini, il suffit, pour prouver qu'il est nilpotent, de prouver que tous ses sous-groupes de Sylow sont normaux[8]. Soit P un sous-groupe de Sylow de Φ(G). Comme Φ(G) est normal dans G, l'argument de Frattini donne G = Φ(G)N_G(P). Puisque Φ(G) est fini, et a fortiori de type fini, une précédente remarque entraîne G = N_G(P), autrement dit P est normal dans G et donc aussi dans Φ(G). Comme on l'a vu, ceci entraîne que Φ(G) est nilpotent.
• Un groupe fini G est nilpotent si et seulement si Φ(G) contient le dérivé G' de G[8].
  Justification. Si un groupe G (fini ou non) est nilpotent, tout sous-groupe maximal M de G est normal dans G et le groupe quotient est cyclique d'ordre premier[9], donc ce quotient est commutatif, donc le dérivé G' est contenu dans M. Ceci étant vrai pour tout sous-groupe maximal M de G, il en résulte que le dérivé G' est contenu dans Φ(G).
  Supposons maintenant que G est fini et que Φ(G) contient G'. Comme tout sous-groupe maximal de G contient Φ(G), tout sous-groupe maximal de G contient G' et est donc normal dans G. Comme G est fini, ceci entraîne que G est nilpotent[8].
• Le sous-groupe de Frattini d'un p-groupe fini G est égal à G'G^p. Le quotient G/Φ(G) est donc un p-groupe abélien élémentaire (en), c'est-à-dire une puissance de ℤ/pℤ [10]. C'est le théorème de Frattini.

Le sous-groupe de Frattini fut étudié pour la première fois par Giovanni Frattini en 1885, dans un article[11] - [12] - [13] où il démontra notamment un énoncé équivalent au fait que le sous-groupe de Frattini d'un groupe fini est nilpotent.

• Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, P.U.F., 1984
• (en) W.R. Scott, Group Theory, Dover, 1987, 2^e éd., 479 p. (ISBN 978-0-486-65377-8, lire en ligne)