Sorcière d'Agnesi

Elle est définie comme suit :

• sur un cercle fixe, on choisit un point O ; le point M est diamétralement opposé à O ;
• à partir de tout autre point A du cercle, on trace la sécante [OA) ;
• l'intersection de la droite (OA) et de la tangente au cercle en M se fait au point N ;
• la droite parallèle à (OM) passant par N, et la droite perpendiculaire à (OM) passant par A, se rencontrent en P ;
• la courbe est le lieu des points P pour tous les points A du cercle.

La courbe est asymptotique à la tangente au cercle fixe passant par le point O.

Construction de la courbe d'Agnesi.

On suppose O à l'origine, et M sur l'axe des ordonnées positives. On suppose que le diamètre du cercle est a.

L'équation cartésienne de la courbe est alors : ${\displaystyle y={\frac {a^{3}}{x^{2}+a^{2}}}}$.

Si x = 0, y = a.

Paramétriquement, si θ est l'angle (OM, OA), mesuré dans le sens anti-trigonométrique, alors la courbe est définie par les équations :

${\displaystyle x=a\tan \theta ,y=a\cos ^{2}\theta .\,}$

• La surface comprise entre la courbe et son asymptote est quatre fois celle du cercle fixe, soit π a².
• Le volume délimité par la surface de révolution autour de l'asymptote est de 4 π² a³.
• Le centroïde de la courbe se trouve aux coordonnées (0, a/2), soit au centre du cercle.