Solutions des équations de Navier-Stokes

Pour un milieu incompressible, les équations de Navier-Stokes s'écrivent pour les champs de vitesse V et de pression p :

• conservation de la masse

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} =0}$

Cette équation implique que V est un champ solénoïdal.

• bilan de la quantité de mouvement

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \left(\mathbf {V} \mathbf {V/2} \right)=-\mathbf {\nabla } p'+\nu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\mathbf {g} (\mathbf {x} ,t)\;,\;\;\;p'={\frac {p}{\rho }}}$

La viscosité cinématique ν est supposée constante, de même que la masse volumique ρ.

Le champ appliqué g (x,t) est régulier :

${\displaystyle \forall K\quad \exists C(\alpha ,K)>0\quad \vert \quad \partial ^{\alpha }\mathbf {g} (x,t)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert \mathbf {x} \vert +t)^{K}}}\;,\quad \forall (\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )}$

La condition initiale est supposée régulière.

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {V} _{0}(\mathbf {x} )\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert \mathbf {x} \vert )^{K}}}\;,\qquad \forall \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$

À cause des problèmes possibles liés au comportement de la solution à l'infini le problème a été scindé en deux parties :

• si la solution est définie dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ alors on suppose que la solution est régulière à l'infini et que l'énergie totale est bornée

1.  ${\displaystyle \mathbf {V} (\mathbf {x} ,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p'(\mathbf {x} ,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))}$
2.  ${\displaystyle \exists E\in (0,\infty )\quad \vert \quad \int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert \mathbf {V} (\mathbf {x} ,t)\vert ^{2}\,d\mathbf {x} <E\;,\;\;t\geq 0\,}$

• le problème est périodique et la solution définie dans le tore ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}}$

Si e étant le vecteur unitaire alors :

${\displaystyle \mathbf {V} (x_{i}+e_{i})=\mathbf {V} (x_{i})\;,\qquad p'(x_{i}+e_{i})=p'(x_{i})\;,\;\;i=1,3}$

La solution doit satisfaire les mêmes relations de régularité et d'énergie totale bornée que ci-dessus.

• en 1911, Carl Wilhelm Oseen a montré l'existence de solutions en temps petit[2] - [3].
• en 1934, Jean Leray a prouvé l'existence de solutions du problème ne respectant pas nécessairement la contrainte de régularité[4].
• en 1959, Olga Ladyjenskaïa a résolu le problème en deux dimensions d'espace[5] - [6].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Navier–Stokes existence and smoothness » (voir la liste des auteurs).