Série diagonale

Soit f une série formelle en les variables ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$ :

${\displaystyle f=\sum _{i_{1},\dotsc ,i_{n}\geqslant 0}a_{i_{1},\dotsc ,i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\dotsm x_{n}^{i_{n}}.}$

La diagonale de f, notée ${\displaystyle \operatorname {diag} (f)}$, est la série univariée définie par

${\displaystyle \operatorname {diag} (f)=\sum _{i\geqslant 0}a_{i,\dotsc ,i}t^{i}.}$

Si f est la série correspondant au développement en série de la fraction ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-x_{2}-x_{3}-x_{1}x_{2}-x_{1}x_{3}}}}$, alors ${\displaystyle \operatorname {diag} (f)}$ est la série

${\displaystyle \operatorname {diag} (f)=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}^{2}t^{n}={\frac {2}{\pi }}K(4{\sqrt {t}}),}$

où K est l'intégrale elliptique complète de première espèce.