Rythme euclidien

Dans son article [3], G. Toussaint pose le problème de répartir ${\displaystyle k}$ battements à l'intérieur d'une mesure comportant ${\displaystyle n}$ temps ( ${\displaystyle k<n}$) de la façon la plus équirépartie possible. C'est facile si ${\displaystyle n}$ est multiple de ${\displaystyle k}$ auquel cas on place les battements tous les ${\displaystyle n/k}$ temps. A titre d'exemple, le rythme indiqué ci-dessous est un rythme euclidien pour ${\displaystyle n=16}$ temps et ${\displaystyle k=4}$ battements. Les battements sont alors à 4 temps les uns des autres car ${\displaystyle n/k=16/4=4}$ .

[ X . . . X . . . X . . . X . . . ]

Ici "x" représente un battement et "." représente un silence.

Le problème se complique lorsque ${\displaystyle n}$ n'est pas multiple de ${\displaystyle k}$ . Dans ce cas ${\displaystyle n/k}$ n'est pas entier, et certains battements seront légèrement plus proches d'un voisin que de l'autre. A titre d'exemple, prenons le cas où ${\displaystyle n=13}$ pas ${\displaystyle k=5}$ battements. Un algorithme naïf placerait par exemple les battements comme ceci :

[ X . X . X . . X . . X . . ]

Bien que les battements soient alors distribués avec une distance minimale entre eux la plus grande possible (égale à 2), on remarque qu'ils sont plus rapprochés au début qu'à la fin. Pour une meilleure répartition, on souhaiterait que les espacements (« x . » et « x . . ») soient eux mêmes répartis uniformément.

G. Toussaint a observé que l'algorithme d'Euclide peut être utilisé pour trouver systématiquement une solution pour tout ${\displaystyle k}$ et ${\displaystyle n}$ minimisant "l'agglutination". En reprenant l'exemple précédent où ${\displaystyle n=13}$ et ${\displaystyle k=5}$ nous effectuons l'algorithme d'Euclide :

${\displaystyle {\begin{aligned}&&n=13,\ k=5\\n&=q_{0}k+r_{0}\implies &q_{0}=2,\ r_{0}=3\\k&=q_{1}r_{0}+r_{1}\implies &q_{1}=1,\ r_{1}=2\\r_{0}&=q_{2}r_{1}+r_{2}\implies &q_{2}=1,\ r_{2}=1\\r_{1}&=q_{3}r_{2}+r_{3}\implies &q_{3}=1,\ r_{3}=0\\\end{aligned}}}$

L'algorithme de Toussaint part du rythme suivant, comportant 5 battements successifs et 8 silences.

[ x x x x x . . . . . . . . ]

Ensuite, en utilisant la suite des restes successifs ${\displaystyle (t_{0},t_{1},...)=(k,r_{0},r_{1},r_{2},...)}$ on prend successivement ${\displaystyle t_{n}}$ colonnes à droite du motif et on les place en dessous à gauche. Commençant par ${\displaystyle t_{0}=k=5}$, on écrit donc :

[ x x x x x . . .
  . . . . .      ]

Pour l'étape suivante, ${\displaystyle t_{1}=r_{0}=3}$ ; on place les trois points situé à droite au-dessous :

[ x x x x x
  . . . . .
  . . .    ]

Puis ${\displaystyle t_{2}=r_{1}=2}$ ; on déplace les 2 colonnes à droite en les mettant en dessous

[x x x
 . . .
 . . .
 x x
 . . ]

Le processus s'arrête là car ${\displaystyle t_{3}<2}$, c'est-à-dire qu'il n'y a qu'une seule colonne à déplacer. Le motif de battements final est lu de haut en bas et de gauche à droite :

E(5, 13) = [ X . . X . X . . X . X . . ]

• Le tresillo E(3, 8) = [ x . . x . . x . ] utilisé dans le tango.
• Le cinquillo E(5, 8) = [x x . x x . x . ] utilisé dans la musique cubaine, "complémentaire" du précédent.
• Le venda (rythme africain) E(5, 12) = [ x . x . . x . x . x . . ]
• Le bembé (rythme africain) E(7, 12) = [ x . x . x x . x . x . x ] , "complémentaire" du précédent.
• E(5, 16) = [ x . . x . . x . . . x . . x . . ] utilisé dans la bossa nova.
• E(7, 16) = [ x . . x . x . x . . x . x . x . ] utilisé dans la samba.

Au 17ème siècle, Conrad Henfling, écrivant à Leibniz sur la théorie musicale et l'accord des instruments de musique, utilise l'algorithme d'Euclide dans son raisonnement [4].

• Musique algorithmique
• Polyrythmie

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euclidean rythm » (voir la liste des auteurs).

• .[vidéo] Mathémusique, C'est quoi un RYTHME EUCLIDIEN ? sur YouTube (consulté le 8 janvier 2023)
• Liens vers des vidéos et une application Flash pour expérimenter les rythmes euclidiens
• Démo de rythme euclidien - outil interactif donnant le rythmer euclidien à partir des valeurs de n et k
• SoundHelix , logiciel gratuit de composition musicale aléatoire algorithmique qui prend en charge les rythmes euclidiens
• Liste des rythmes euclidiens - une liste de tous les rythmes euclidiens E(i,2 à 32), indiquant s'ils sont Winograd-deep, Erdős-deep, Authentic Aksak, Quasi-Aksak ou Pseudo-Aksak