Accueil🇫🇷Chercher

Réseau de Toda

En physique du solide, le réseau de Toda, introduit par Morikazu Toda (en) en 1967, est un modèle simple pour un cristal unidimensionnel.

Le modèle

Il est donné par une chaîne de particules dont l'interaction avec le voisin le plus proche est décrit par l'opérateur hamiltonien

et les équations du mouvement

où est le déplacement de la -ième particule depuis sa position d'équilibre, est sa quantité de mouvement (masse ), et est le potentiel Toda.

Solutions en solitons

Les solutions en solitons sont des ondes solitaires qui se propagent dans le temps sans changement de leur forme et de leur taille et interagissent les unes avec les autres comme des particules. La solution générale de N-soliton de l'équation est

où

avec et .

Intégrabilité

Le réseau de Toda est un exemple prototypique d'un système complètement intégrable. Pour voir celui-ci on utilise les variables de Flaschka

;

le réseau cd Toda prend alors la forme

Pour montrer que le système est complètement intégrable, il suffit de trouver une paire de Lax, c'est-à-dire deux opérateurs L (t) et P (t) dans l'espace de Hilbert de séquences de carrés sommables de telle sorte que l'équation de Lax

(où est le crochet de Lie des deux opérateurs) est équivalent à la dérivée temporelle des variables de Flaschka. Le choix

où f (n + 1) et f (n-1) sont les opérateurs de décalage, implique que les opérateurs L (t) pour différents t sont unitairement équivalents.

La matrice a la propriété que ses valeurs propres sont invariantes dans le temps. Ces valeurs propres constituent des intégrales indépendantes du mouvement, donc le réseau de Toda est complètement intégrable. En particulier, le réseau de Toda peut être résolu grâce à la transformation de diffusion inverse (en) pour l'opérateur de Jacobi L. Le résultat principal implique que des conditions initiales de décomposition arbitraire (suffisamment rapide) se répartissent asymptotiquement pour t grand en une somme de solitons et une partie dispersive.

Notes et références

    • Helge Krüger et Gerald Teschl, « Long-time asymptotics of the Toda lattice for decaying initial data revisited », Rev. Math. Phys., vol. 21, no 1,‎ , p. 61-109 (MR 2493113, arXiv 0804.4693).
    • Gerald Teschl, Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices, Amer. Math. Soc., coll. « Mathematical Surveys and Monographs » (no 72), , 351 p. (ISBN 978-0-8218-1940-1, MR 1711536, lire en ligne)
    • Gerald Teschl, « Almost everything you always wanted to know about the Toda equation », Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 103, no 4,‎ , p. 149–162 (MR 1879178, lire en ligne)
    • Eugene Gutkin, « Integrable Hamiltonians with exponential potential », Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 16, no 3,‎ , p. 398–404 (ISSN 0167-2789, DOI 10.1016/0167-2789(85)90017-X).
    • Morikazu Toda, « Vibration of a Chain with Nonlinear Interaction », Journal of the Physical Society of Japan, vol. 22, no 2,‎ , p. 431–436 (ISSN 0031-9015, DOI 10.1143/JPSJ.22.431).
    • Morikazu Toda, Theory of Nonlinear Lattices, Berlin, Springer, coll. « Springer Series in Solid-State Sciences » (no 20), , 2e éd., 203 p. (ISBN 978-0-387-10224-5, DOI 10.1007/978-3-642-83219-2, MR 0971987)

    Articles liés

    Liens externes

    Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.