Régularisation (physique)

En physique théorique, la régularisation est une procédure ad-hoc qui consiste à modifier une grandeur physique qui présente une singularité afin de la rendre régulière. La régularisation est par exemple abondamment utilisée en théorie quantique des champs en relation avec la procédure de renormalisation, ainsi qu'en relativité générale pour le calcul du problème à deux corps en paramétrisation post-newtonienne.

Exemple élémentaire

Le potentiel newtonien en coordonnées sphériques s'écrit :

$V(r)\ =\ {\frac {k}{r}}$

où k est une constante. Cette expression présente une singularité à l'origine : elle devient en effet infinie en r = 0. On peut la régulariser en introduisant une famille à un paramètre :

$V_{\epsilon }(r)\ =\ {\frac {k}{\sqrt {r^{2}+\epsilon ^{2}}}}$

Cette expression reste bien définie en r = 0, car pour tout $\epsilon >0$ , on a :

$V_{\epsilon }(0)\ =\ {\frac {k}{\epsilon }}\ <\ +\ \infty$

Régularisations en théorie quantique des champs

Les calculs de processus de diffusion en théorie quantique des champs perturbative font apparaître des intégrales divergentes dès l'ordre d'une boucle. Pour donner un sens à ces intégrales, plusieurs méthodes sont utilisées.

Régularisation dimensionnelle

Initialement, l'espace-temps physique réel possède une dimension d = 4. La régularisation dimensionnelle consiste en un prolongement analytique de l'intégrale divergente pour des dimensions d'espace-temps d complexes, la fonction obtenue étant méromorphe. Il est alors possible d'étudier la nature de la singularité en d = 4 afin de procéder à une renormalisation par soustraction du terme divergent. La méthode, qui respecte l'unitarité, la causalité et l'invariance de jauge, a été introduite en 1972 par t'Hooft & Veltman[1], Bollini & Giambiagi[2], et Ashmore[3].

Considérons par exemple l'intégrale typique suivante, correspondant à la somme sur la quadri-impulsion p dans une boucle[4] :

$I(d)\ =\ \int {\frac {d^{d}p}{p^{2}-m^{2}}}\ =\ -\ i\ {\frac {(2\pi )^{d}}{(4\pi )^{d/2}}}\ m^{d-2}\ \Gamma \left(1-{\frac {d}{2}}\right)$

où $\Gamma (z)$ est la fonction gamma d'Euler. Pour étudier la singularité en d = 4, on pose : $\epsilon =4-d$ et on fait un développement asymptotique en zéro :

$\Gamma \left(1-{\frac {d}{2}}\right)\ =\ \Gamma \left({\frac {\epsilon }{2}}-1\right)\ \sim \ -\ {\frac {2}{\epsilon }}\ -\ 1\ +\ \gamma \ +\ O(\epsilon )$

où $\gamma$ est la constante d'Euler-Mascheroni. On en déduit que l'intégrale $I(d)$ présente un pôle simple en d = 4 :

$I(d)\ \sim \ {\frac {2\pi ^{2}im^{2}}{4-d}}\ +\ \mathrm {fini}$

Régularisation de Pauli-Villars

Cette méthode consiste à rajouter des particules fictives de masse M à la théorie initiale ; on étudie alors la limite M tendant vers l'infini. Elle a été publiée[5] en 1949 par Pauli et Villars, basée sur des travaux antérieurs de Feynman, Stueckelberg et Rivier.

Notes et références

Gerard t'Hooft & Martinus Veltman ; Regularization & renormalization of gauge fields, Nuclear Physics B 44 (1972), 189-213.
CG Bollini & JJ Giambiagi ; Lowest order "divergent" graphs in n-dimmensional space, Physics Letter B 40 (1972), 566-568.
JF Ashmore ; A method of gauge invariant regularization, Nuovo Cimento Letters 4 (1972), 289-290.
Cet exemple est tiré d'un « modèle-jouet » : la théorie du champ scalaire autointeragissant $\varphi ^{4}$ . Cette intégrale apparait dans la correction à une boucle du propagateur libre. Les détails du calcul se trouvent par exemple dans : Lewis H Ryder ; Quantum Field Theory, Cambridge University Press, 1986 (ISBN 978-0-521-33859-2), paragraphe 9.2, page 349.
W Pauli & F Villars ; On the Invariant Regularization in Relativistic Quantum Theory, Review of Modern Physics 21 (1949), 434-444.

Voir aussi

Bibliographie

Anthony Zee ; Quantum Field Theory in a Nutshell, Princeton University Press, 2010 (ISBN 978-0-691-14034-6)
Silvan S. Schweber ; QED and the men who made it: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga, Princeton University Press, 1994 (ISBN 978-0-691-03327-3)
Gerard t'Hooft ; This week's Citation Classic (16 avril 1984) pdf

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