Processus ponctuel déterminantal

Les deux conditions suivantes sont nécessaires et suffisantes pour l'existence d'un processus ponctuel déterminantal :

• Symetrie de ${\displaystyle \rho _{k}}$:Il faut que ${\displaystyle \rho _{k}}$soit stable sous le groupe symetrique ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{k}}$:

${\displaystyle \quad \quad \rho _{k}(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})=\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k}),\quad \forall \sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}.}$

• Positivité : Pour tout entier N et toute famille de fonctions mesurables, bornées et à support compact

${\displaystyle \quad \quad \quad \rho$ :\mathbb {X} ^{k}\longrightarrow \mathbb {R} } , ${\displaystyle k=1,...,N}$,

on a, si

${\displaystyle \quad \quad \quad \varphi _{0}+\sum _{k=1}^{N}\sum _{i_{1}\neq \cdots \neq i_{k}}\varphi _{k}(x_{i_{1}}\ldots x_{i_{k}})\geq 0,}$

alors,

${\displaystyle \quad \quad \quad \varphi _{0}+\sum _{i=1}^{N}\int _{\mathbb {X} ^{k}}\varphi _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,{\textrm {d}}x_{1}\cdots {\textrm {d}}x_{k}\geq 0.}$

Une condition suffisante pour l'unicité d'un processus ponctuel déterminantal de fonction de corrélation ${\displaystyle \rho _{k}}$est la suivante:

${\displaystyle \quad \quad \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k!}}\int _{A^{k}}\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,{\textrm {d}}x_{1}\cdots {\textrm {d}}x_{k}\right)^{-{\frac {1}{k}}}=+\infty }$,

pour toute partie borélienne bornée ${\displaystyle A}$ dans ${\displaystyle \mathbb {X} }$.

Dans plusieurs modèles de matrices aléatoires (GUE[5], CUE[5], LUE, Ginibre[6]), les valeurs propres forment un processus ponctuel déterminantal à valeurs complexes (ou réelles). Par exemple, les valeurs propres du GUE (ensemble unitaire gaussien) forment, pour la mesure de Lebesgue sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, un processus ponctuel déterminantal de noyau

${\displaystyle \qquad K_{n}(x,y)=\sum _{k=0}^{n-1}h_{k}(x)h_{k}(y)}$,

où la famille des ${\displaystyle h_{k}}$ sont les polynômes d'Hermite normalisées. En particulier, ${\displaystyle h_{k}}$ est un polynôme de degré ${\displaystyle k}$ et ${\displaystyle \langle h_{l},h_{k}\rangle =\delta _{l,k}}$.

Soient ${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}$ les valeurs propres de CUE (circular unitary ensemble), alors ${\displaystyle \lambda _{j}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta _{j}}}$, pour tout ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$, ${\displaystyle \theta _{j}\in [0,2\pi {\mathclose {[}}}$. Le processus ponctuel associé à ${\displaystyle \{\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}\}}$ est déterminantal, pour la mesure de référence ${\displaystyle (2\pi )^{-1}\mathbb {1} _{[0,2\pi ]}(\theta ){\textrm {d}}{\mathit {\theta }}}$ sur ${\displaystyle \mathbb {X} =[0,2\pi ],}$ de noyau

${\displaystyle \qquad K_{n}(\theta ,\eta )=\sum _{j=1}^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k(\theta -\eta )}}$.

Les coordonnée de Frobenius modifiées d'un diagramme de Young aléatoire ayant comme loi la loi de Plancherel poissonisé forme un processus ponctuel déterminantal sur ${\displaystyle \mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}}$ pour la mesure de comptage avec un noyau de Bessel discret.

Soit ${\displaystyle \sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}$ une permutation et soit ${\displaystyle D(\sigma )=\{1\leq i\leq n,\sigma (i+1)<\sigma (i)\}}$. Lorsque ${\displaystyle \sigma }$ est aléatoire de loi uniforme, ${\displaystyle D(\sigma )}$ vu comme un processus ponctuel sur l'ensemble des entiers naturels est déterminantal pour la mesure de comptage.

Le noyau vérifie l'équation :

$${\displaystyle K(i,j)={\frac {B_{j-i+1}}{(j-i+1)!}}.}$$

Ici, les ${\displaystyle B_{k}}$ sont les nombres de Bernoulli vérifiant

$${\displaystyle {\frac {z}{1-e^{z}}}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\frac {B_{k}}{k!}}z^{k}.}$$

Tout processus stationnaire sur l'ensemble des entier relatives de portée 1 est déterminantal pour la mesure de comptage[8]. Le noyau vérifie ${\displaystyle K(x,y)=k(y-x)}$

avec

$${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {Z} }z^{i}k(i)={\frac {-1}{\sum _{i\geq 1}\mathbb {P} (\{1,\dots ,i\}\subset X)z^{i+1}}}.}$$