Problème des 15 écolières

Le problème a été posé en 1850 par Kirkman dans le journal de mathématiques récréatives The Lady's and Gentleman's Diary[1] et des solutions ont été données par Arthur Cayley[2] et par Kirkman lui-même[3]. Il y a eu ultérieurement un différend entre Kirkman et le mathématicien James Joseph Sylvester, qui a affirmé avoir posé lui aussi le problème. La devinette est apparue dans divers livres de mathématiques récréatives au tournant du XX^e siècle par Lucas[4], Rouse Ball[5], Ahrens[6] et Dudeney[7].

Si on numérote les écolières de 0 à 14, une solution est donnée par l'arrangement suivant [8] :

Dim	Lun	Mar	Mer	Jeu	Ven	Sam
0, 5, 10	0, 1, 4	1, 2, 5	4, 5, 8	2, 4, 10	4, 6, 12	10, 12, 3
1, 6, 11	2, 3, 6	3, 4, 7	6, 7, 10	3, 5, 11	5, 7, 13	11, 13, 4
2, 7, 12	7, 8, 11	8, 9, 12	11, 12, 0	6, 8, 14	8, 10, 1	14, 1, 7
3, 8, 13	9, 10, 13	10, 11, 14	13, 14, 2	7, 9, 0	9, 11, 2	0, 2, 8
4, 9, 14	12, 14, 5	13, 0, 6	1, 3, 9	12, 13, 1	14, 0, 3	5, 6, 9

Ce problème est un cas particulier de système de Steiner S(t, k, n), un ensemble à n éléments muni d'une famille de sous-ensembles à k éléments (les blocs), de sorte que chaque sous-ensemble à t éléments est contenu dans exactement un bloc (un tel système est aussi appelé un plan en blocs de paramètre t(n, k, 1)). Dans le problème des écolières avec n écolières, on a un système triple de Steiner S(2, 3, n). Dans le cas n = 15, il existe en tout sept possibilités de répartir les écolières selon les conditions. Celles-ci ont été publiées en 1862/1863 par Wesley Woolhouse dans le même magazine où Kirkman avait posé le problème[9] - [10] - [11]. Deux de ces solutions peuvent être visualisées comme relations entre un tétraèdre et ses sommets, arêtes et faces[12].

La solution générale de tels problèmes s'est avérée plus difficile qu'on pouvait le penser à l'origine. Des preuves de l'existence d'une solution dans le cas général ont été fournies par Richard M. Wilson et Dwijendra Kumar Ray-Chaudhuri en 1968 [13]; en 2018 une preuve encore plus générale de l'existence de plans en blocs admissibles a été donnée par Peter Keevash[14]. Il n'existe pas de solutions pour tout entier n et pour chaque combinaison de paramètres : certaines conditions naturelles de divisibilité doivent être remplies ; par exemple n doit être divisible par 3. Cependant, si ces conditions sont remplies, Wilson a prouvé l'existence d'une solution. Le nombre de solutions augmente exponentiellement avec n. Avec 19 écolières, il y a déjà plus de onze milliards de possibilités pour les diviser en groupes de trois de sorte que chacune se promène exactement une fois dans un groupe de trois en présence de toutes les autres.

Le problème des écolières de Kirkman a été le début du développement de la théorie des plans en blocs et des designs combinatoires.

Le problème d'Oberwolfach (en) de décomposition d'un graphe complet en copies sans arêtes communes d'un graphe 2-régulier est aussi une généralisation du problème des écolières : le problème de Kirkman est le cas particulier de ce problème où les graphes 2-réguliers consistent en cinq triangles disjoints[15].

• W. Ahrens, Mathematische Unterhaltungen und Spiele, Leipzig, Teubner, 1901
• Darryn Bryant et Peter Danziger, « On bipartite 2-factorizations of ${\displaystyle K_{n}-I}$ and the Oberwolfach problem », Journal of Graph Theory, vol. 68, n^o 1,‎ 2011, p. 22–37 (DOI 10.1002/jgt.20538, MR 2833961, lire en ligne)
• Charles J. Colbourn et Jeffrey H. Dinitz, Handbook of Combinatorial Designs, Boca Raton, Chapman & Hall/ CRC, 2007, 2^e éd., 1016 p. (ISBN 978-1-58488-506-1, lire en ligne )
• Louise Duffield Cummings, « An undervalued Kirkman paper », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 24, n^o 7,‎ 1918, p. 336–339 (DOI 10.1090/S0002-9904-1918-03086-3)
• Henry E. Dudeney, Amusements in Mathematics, Dover, 1917. 

réimpression H.E. Dudeney, Amusements in Mathematics, Dover, coll. « Dover Recreational Math », 1958, 258 p. (ISBN 978-0-486-20473-4, Amusements in Mathematics sur Google Livres)

• Ronald L. Graham, Martin Grötschel et László Lovász, Handbook of Combinatorics, Volume 2, The MIT Press, 1995, 2198 p. (ISBN 0-262-07171-1)
• Alan Hartman, « Kirkman's trombone player problem », Ars Combinatoria, vol. 10,‎ 1980, p. 19–26
• Jiaxi Lu, Collected Works of Lu Jiaxi on Combinatorial Designs, Huhhot, Inner Mongolia People's Press, 1990
• Thomas P. Kirkman, « On a Problem in Combinations », The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, Macmillan, Barclay, and Macmillan, vol. II,‎ 1847, p. 191–204 (lire en ligne)
• Thomas P. Kirkman, « Note on an unanswered prize question », The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, Macmillan, Barclay and Macmillan, vol. 5,‎ 1850, p. 255–262 (lire en ligne)
• É. Lucas, Récréations Mathématiques, vol. 2, Paris, Gauthier-Villars, 1883, 183–188 p. (Récréations mathématiques, 2 sur Google Livres)
• D. K. Ray-Chaudhuri et R. M. Wilson, « Solution of Kirkman's schoolgirl problem », Combinatorics, University of California, Los Angeles, 1968, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, vol. XIX,‎ 1971, p. 187–203 (ISBN 978-0-8218-1419-2, DOI 10.1090/pspum/019/9959)
• W. W. Rouse Ball, Mathematical Recreations and Essays, Macmillan, 1892. 

réimpression (en) W. W. Rouse Ball et H.S.M. Coxeter, Mathematical Recreations and Essays, New York, Dover, 1987, 13^e éd. (1^re éd. 1974), 287–289 p. (ISBN 0-486-25357-0, Mathematical Recreations and Essays sur Google Livres)

• Le problème des écolières de Kirkman dans l'article sur la géométrie finie.

• (en) Eric W. Weisstein, « Kirkman's schoolgirl problem », sur MathWorld
• Erica Klarreich, « A design dilemma solved, minus designs. », Quanta Magazine,‎ 9 juin 2015 (lire en ligne)