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Problème de la somme nulle

En théorie des nombres, les problèmes de la somme nulle forment une classe de questions combinatoires. Dans un groupe abélien fini G, le problème de la somme nulle est de déterminer, pour tout entier n > 0, le plus petit entier k tel que toute suite de k éléments de G contienne une sous-suite de n termes de somme 0.

En 1961, Paul ErdĹ‘s, Abraham Ginzburg et Abraham Ziv ont dĂ©montrĂ©[1] que pour G Ă©gal au groupe additif de l'anneau ℤ/nℤ, ce plus petit k vaut 2n – 1. Ce rĂ©sultat, appelĂ© le thĂ©orème d'ErdĹ‘s-Ginzburg-Ziv ou « thĂ©orème EGZ Â», peut se dĂ©duire du thĂ©orème de Cauchy-Davenport[2].

Il possède des gĂ©nĂ©ralisations comme le thĂ©orème d'Olson[3], la conjecture de Kemnitz (dĂ©montrĂ©e par Christian Reiher en 2003) et le « thĂ©orème EGZ pondĂ©rĂ© Â» (dĂ©montrĂ© par David J. Grynkiewicz en 2005[4]).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Zero-sum problem » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) P. Erdős, A. Ginzburg et A. Ziv, « Theorem in the additive number theory », Bull. Res. Council Israel, vol. 10F,‎ , p. 41-43 (lire en ligne)
  2. (en) Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory : Inverse Problems and Geometry of Sumsets, New York/Berlin/Heidelberg, Springer, coll. « GTM » (no 165), , 293 p. (ISBN 0-387-94655-1, lire en ligne), p. 48, Zbl. 0859.11003
  3. (en) J. E. Olson, « An addition theorem modulo p », J. Combin. Theory, vol. 5,‎ , p. 45-52
  4. (en) D. J. Grynkiewicz, « A Weighted Erdős-Ginzburg-Ziv Theorem », Combinatorica, vol. 26, no 4,‎ , p. 445-453 (DOI 10.1007/s00493-006-0025-y)

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