Problème de construction d'un triangle

D'autres problèmes prennent comme données possibles les longueurs des médianes, des hauteurs, des segments internes des bissectrices, le rayon du cercle circonscrit ou du cercle inscrit, ou encore le demi-périmètre .

En prenant un triplet de données parmi les longueurs, les mesures d'angles et les longueurs données ci-dessus, on atteint ${\textstyle {\binom {18}{3}}=816}$ problèmes dont 186 non-triviaux[3].

En utilisant les notations suivantes, Wernick considère les triplets de points parmi :

• les sommets A, B, C et le centre du cercle circonscrit O
• les milieux des côtés M_a, M_b, M_c et le centre de gravité G
• les pieds des hauteurs H_a, H_b, H_c et l'orthocentre H
• les pieds des bissectrices (internes) T_a, T_b, T_c et le centre du cercle inscrit I

Il existe alors ${\textstyle {\binom {16}{3}}=560}$ triplets possibles mais seulement 139 cas non triviaux, en enlevant les cas symétriques (les triplets (A, B, M_a) et (B, C, M_c) par exemple).

Wernick les sépare en quatre catégories :

• R pour redundant : un des points du triplet est constructible à partir des deux autres. Le problème n'a alors aucune solution.
• L pour locus : il n'existe pas de solution unique au problème mais un ensemble de solutions infini (une droite, un cercle).
• S pour solvable : le triangle peut être construit à la règle et au compas (la méthode de construction n'est pas forcément connue).
• U pour unsolvable ou unclassified : le triangle solution ne peut pas être construit à la règle et au compas ou le problème de la construction reste ouvert.

En 2012, on compte 72 problèmes classés S, 16 problèmes classés U, 3 classés R et 23 problèmes classés L.

Exemples

• Un problème S simple est celui du triplet (A, B, G) , qui se résout comme suit :
  • Tracer le milieu de [AB], qui est M_c
  • Tracer le point C qui vérifie ${\displaystyle {\overrightarrow {GC}}=2{\overrightarrow {M_{c}G}}}$
• Un problème S dont la solution n'est pas connue est le triplet (H, T_a, I).
• Un problème L simple est celui du triplet (A, B, O), car tout point C sur le cercle de centre O et passant par A (et donc B) est solution
• Les trois problèmes R sont redondants :
  • (A, B, M_c) sont tous trois sur le même côté du triangle
  • (A, M_a, G) sont tous trois sur une même médiane
  • (O, G, H) sont tous trois sur la droite d'Euler du triangle
• Un problème U prouvé comme irrésoluble est celui lié au triplet (A, G, T_c).

Aux points choisis par Wernick, Connelly ajoute le centre du cercle d'Euler N et les « points d'Euler » E_a, E_b, E_c (les intersections des hauteurs et du cercle d'Euler, soit les milieux des segments joignant les sommets et l'orthocentre).

Ce compendium apporte donc ${\textstyle {\binom {20}{3}}=1140}$ triplets possibles, dont 113 non triviaux : 73 problèmes classés S, 16 problèmes classés U, 5 classés R et 19 problèmes L.