Principe de moindre action et mécanique classique

Pierre de Fermat s'intéressait au problème du chemin pris par la lumière, dans une simplification similaire à l'optique géométrique, et notamment au trajet le plus court en temps que celle-ci prend lors d'une transition de milieu, précisant que la lumière prend le chemin le plus court (en temps de parcours) et non pas la distance la plus courte. Maupertuis répond que les corps massifs prennent le chemin où leur quantité d'action est localement minimisée, d'où le nom de principe de moindre action (1744). En 1788 Joseph-Louis Lagrange propose une formulation mathématique du principe de moindre action, qui est encore en vigueur de nos jours.

• Soit on expose l'action et le lagrangien habituels de la physique classique (non relativiste), puis on détermine les équations d'Euler-Lagrange.
• Soit on définit abstraitement l'action et le lagrangien (à la manière de Landau et Lifchitz[3]), et on détermine leurs formes et leurs propriétés qu'imposent les principes de la physique, ainsi que les équations d'Euler-Lagrange.

Dans cet article, seule la première présentation sera donnée.

Considérons pour simplifier un point matériel décrit, dans un repère galiléen, par un seul degré de liberté, noté ${\displaystyle \ q(t)}$ à l'instant ${\displaystyle \ t}$ [4]. Le lagrangien est la différence entre l'énergie cinétique (du point matériel) et l'énergie potentielle (due à l'environnement physique) :

${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)\ =\ {\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {q}}^{2}\ -\ V(q,{\dot {q}},t)}$

où ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {q}}^{2}}$ est l'énergie cinétique du système et ${\displaystyle V(q,{\dot {q}},t)}$ est l'énergie potentielle, qui en général ne dépend pas de ${\displaystyle {\dot {q}}}$.

L'action de la trajectoire, étant la somme totale de la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle durant la trajectoire, est définie par:

où ${\displaystyle \ t_{i}}$ et ${\displaystyle \ t_{f}}$ désignent respectivement l'instant initial et l'instant final.

• Dire que le chemin « minimise localement l'action » signifie que pour tout autre chemin ayant les mêmes conditions initiales et finales, et suffisamment proche du chemin minimisant, la valeur de l'action est plus grande.
• Avec certaines conditions initiales et/ou finales, le chemin minimisant localement l'action peut ne pas exister, mais s'il existe, il est unique (à cause des conditions initiales et de la continuité du mouvement).

Le lagrangien n'est pas défini de manière unique : l'ajout au lagrangien d'une fonction ${\displaystyle f(q,{\dot {q}},t)={\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}}$ ajoute à l'action une fonction ${\displaystyle \ F(t_{final})-F(t_{initial})}$ qui ne dépend que des extrémités et qui s'annule quand on fait varier l'action par rapport au chemin.

Le chemin ${\displaystyle q(t)}$ effectivement suivi par le point matériel entre les instants ${\displaystyle t_{i}}$ et ${\displaystyle t_{f}}$ fixés est un extremum de l'action (car il lui fait atteindre sa valeur minimale ou maximale), donc en faisant une variation du chemin, on a :

${\displaystyle \delta S[q]\ =\ 0}$.

L'équation (d'Euler-Lagrange) que l'on en déduit est :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}(q,{\dot {q}},t)\ -\ {\frac {\partial L}{\partial q}}(q,{\dot {q}},t)\ =\ 0}$.

Une démonstration se trouve dans l'article détaillé.

Supposons que ${\displaystyle \ V(q,{\dot {q}},t)=V(q,t)}$.

Avec l'expression du lagrangien classique, on obtient : ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}(q,{\dot {q}},t)\ =\ m.{\ddot {q}}}$.

Les équations d'Euler-lagrange donnent :

${\displaystyle m.{\ddot {q}}=-{\frac {\partial V}{\partial q}}(q_{0},t)}$,

ce qui exprime les lois du mouvement de Newton avec :

(Somme des forces extérieures) = ${\displaystyle -{\frac {\partial V}{\partial q}}(q_{0},t)}$.

Si toutes les forces en jeu dérivent d'un potentiel, le principe de moindre action peut être considéré comme une réécriture des lois du mouvement de Newton.

On suppose que le système évolue dans un milieu homogène (mêmes propriétés à tous les endroits) et isotrope (mêmes propriétés dans toutes les directions), et dont la viscosité engendre des frottements :

• S'il n'y a qu'un seul degré de liberté ${\displaystyle q}$ du système :

  En première approximation, les forces de frottements peuvent se modéliser par ${\displaystyle f=-a.{\dot {q}}}$ où ${\displaystyle a}$ est une constante positive dépendant des caractéristiques géométriques du corps et de la viscosité du milieu (air, eau…), le signe ${\displaystyle -}$ indiquant que les frottements sont orientés dans le sens inverse du mouvement.

  On peut donc utiliser le potentiel ${\displaystyle V_{\ fr}={\frac {a}{2}}.({\dot {q}})^{2}}$ dans le lagrangien.

• S'il y a plusieurs degrés de liberté, le lagrangien s'écrit ${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)\ ={\frac {1}{2}}\Sigma _{i}\,m_{i}\,{\dot {q}}_{i}^{2}\ -\ V(q,{\dot {q}},t)}$

  et la force de frottement dans la direction de la j-ème coordonnée est ${\displaystyle f_{j}=-\Sigma _{i}\ a_{i,j}.{\dot {q}}_{i}}$,

  ce qui est une égalité scalaire, où les ${\displaystyle a_{i,j}}$ sont des constantes, ainsi que dans le cas précédent.

Il n'y a de potentiel que si ${\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}}$, ce qui est toujours vrai dans un fluide homogène et isotrope.

Dans le cas où il y a un potentiel (appelé fonction de dissipation), il a la forme d'une fonction quadratique : ${\displaystyle F={\frac {1}{2}}\Sigma _{ij}\ a_{i,j}.{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}}$.

On vérifie facilement que : ${\displaystyle f_{j}=-{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}_{j}}}}$.

Dans tous les cas, pour préserver l'utilisation du lagrangien, et pour respecter l'équation fondamentale de la dynamique, on écrit :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}(q,{\dot {q}},t)\ -\ {\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}(q,{\dot {q}},t)\ =\ f_{j}=-\Sigma _{i}\ a_{i,j}.{\dot {q}}_{i}}$.

Si la fonction de dissipation ${\displaystyle F}$ est utilisable, on démontre que ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=-2F}$ (voir plus bas pour la définition de l'énergie E), ainsi cette fonction quantifie la dissipation d'énergie du système au cours du temps.

Pour une vue plus exhaustive sur les frottements, consulter le wikilivre Tribologie

Ici ${\displaystyle e}$ est la charge de la particule.

${\displaystyle L=L({\vec {q}},{\dot {\vec {q}}},t)={\frac {1}{2}}m\ {\dot {\vec {q}}}^{2}\ -\ V(q,{\dot {\vec {q}}},t)}$

avec : ${\displaystyle V(q,{\dot {\vec {q}}},t)=e\phi ({\vec {q}},t)-e{\dot {\vec {q}}}.{\vec {A}}({\vec {q}},t)}$ ; la donnée ${\displaystyle \left(\phi ({\vec {q}},t),{\vec {A}}({\vec {q}},t)\right)}$ est appelée « potentiel électromagnétique ».

Donc :

en posant ${\displaystyle {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}-{\vec {grad}}\phi }$ le champ électrique et ${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {rot}}{\vec {A}}}$ le champ magnétique.

Les équations d'Euler-Lagrange donnent :

où ${\displaystyle {\vec {F}}=e\left({\vec {E}}+{\dot {\vec {q}}}\wedge {\vec {B}}\right)}$ est appelé force de Lorentz.

Historiquement, la force de Lorentz a été trouvée avant l'idée du potentiel électromagnétique.

L'impulsion est la variable conjuguée de la vitesse dans la transformée de Legendre du lagrangien.

Elle est définie par : ${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}(q,{\dot {q}},t)}$.

• Si ${\displaystyle V=V(q,t)}$ alors ${\displaystyle p=m{\dot {q}}}$

  donc ${\displaystyle {\dot {q}}={\frac {1}{m}}p}$, d'où : ${\displaystyle L=L(q,p,t)={\frac {1}{2m}}\ p^{2}\ -\ V(q,t)}$.

• Si ${\displaystyle V=V(q,{\dot {q}},t)}$ est affine par rapport à ${\displaystyle {\dot {q}}}$ (sinon il s'agit d'une force de frottement) alors ${\displaystyle p=m{\dot {q}}-{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}}}}$

  où ${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}}}}$ est indépendant de ${\displaystyle {\dot {q}}}$.

L'impulsion est utilisable comme variable :

En remarquant que : ${\displaystyle {\dot {q}}={\frac {1}{m}}\left(p+{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}}}\right)}$, on a ${\displaystyle L=L(q,p,t)={\frac {1}{2m}}\ \left(p+{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}}}\right)^{2}\ -\ V(q,p,t)}$.

En développant le carré, on obtient :

${\displaystyle L=L(q,p,t)={\frac {1}{2m}}\ p^{2}\ -\ V'(q,t)}$.

Dans le lagrangien ${\displaystyle L(q,p,t)}$, le potentiel est indépendant de ${\displaystyle p}$.

Avec l'impulsion comme variable, les équations d'Euler-Lagrange ne changent pas de forme : ${\displaystyle p}$ y prend la place de ${\displaystyle {\dot {q}}}$.

Le théorème de Noether montre qu'une invariance du lagrangien par une transformation impose une grandeur invariante du système. On peut utiliser l'énergie du système pour arriver aux mêmes invariants (mis à part le premier cas).

Indépendance par rapport au temps

Si les forces en présence sont indépendantes du temps ou si le système est fermé, alors le lagrangien ne dépend pas explicitement du temps : ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=0}$ ou encore ${\displaystyle L=L({\vec {q}},{\dot {{\vec {q}}~}})}$.

En dérivant le lagrangien par rapport au temps, on démontre que l'énergie totale

${\displaystyle E={\frac {\partial L}{\partial {\dot {{\vec {q}}~}}}}.{\dot {{\vec {q}}~}}-L={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {{\vec {q}}~}}^{2}+V\left({\vec {q}}\right)}$

est constante par rapport au temps,

c’est-à-dire : ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=0}$.

Ceci peut se démontrer directement à partir de l'équation fondamentale de la dynamique.

L'énergie du système peut aussi être définie comme la transformée de Legendre du lagrangien.

Dans le cas particulier où il s'agit d'un potentiel électromagnétique, et en utilisant les notations vues ci-dessus pour ce cas, on montre que : ${\displaystyle E={\frac {1}{2m}}.\left({\vec {p}}-e.{\vec {A}}\right)^{2}+e.\phi }$.

• Richard P. Feynman, Robert B. Leighton et Matthew Sands (en), Le Cours de physique de Feynman [détail de l’édition] - Électromagnétisme (I), chap. 19
• Jean-Louis Basdevant, Principes variationnels & dynamique, Vuibert, 2005 (ISBN 2711771725).
• Florence Martin-Robine, Histoire du principe de moindre action, Vuibert, 2006 (ISBN 2711771512).

• Principe de moindre action
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• Lagrangien
• Mécanique hamiltonienne
• Principe de Fermat, intéressant parallèle avec l'optique