Principe de maximalité de Hausdorff

Le principe de maximalité de Hausdorff stipule que, dans un ensemble partiellement ordonné, tout sous-ensemble totalement ordonné est contenu dans un sous-ensemble maximal totalement ordonné. Ici, un sous-ensemble maximal totalement ordonné est un sous-ensemble qui, si on lui ajoute un élément quelconque, ne reste pas totalement ordonné. L'ensemble maximal désigné par le principe n'est pas unique en général : il peut y avoir de nombreux sous-ensembles maximaux totalement ordonnés contenant un sous-ensemble totalement ordonné.

Une forme équivalente de ce principe est que dans tout ensemble partiellement ordonné, il existe un sous-ensemble maximal totalement ordonné.

Pour démontrer que cela découle de la forme originale, on pose A un ensemble partiellement ordonné. Alors ${\displaystyle \varnothing }$ est un sous-ensemble totalement ordonné de A, donc il existe un sous-ensemble maximal totalement ordonné contenant ${\displaystyle \varnothing }$. En particulier, A contient un sous-ensemble maximal totalement ordonné.

Pour la démonstration dans le sens inverse, on pose A un ensemble partiellement ordonné et T un sous-ensemble de A totalement ordonné. Alors

${\displaystyle \{S\mid T\subseteq S\subseteq A{\mbox{ et S totalement ordonné}}\}}$

est partiellement ordonné par l'inclusion ${\displaystyle \subseteq }$ donc il contient un sous-ensemble maximal totalement ordonné, noté P. L'ensemble ${\displaystyle M=\bigcup P}$ satisfait aux propriétés souhaitées.

La preuve que le principe de maximalité de Hausdorff est équivalent au lemme de Zorn est très similaire à celle-ci.

EXEMPLE 1. Si A est une collection d'ensembles, la relation "est un sous-ensemble de" est un ordre partiel strict sur A. Supposons que A est la collection de toutes les régions circulaires (l'intérieur des cercles) dans le plan. Une sous-collection maximale totalement ordonnée de A est l'ensemble des régions circulaires avec leurs centres à l'origine. Une autre sous-collection maximale totalement ordonnée est l'ensemble des régions circulaires délimitées par des cercles tangents à l'axe des ordonnées à l'origine.

EXEMPLE 2. Si (x₀, y₀) et (x₁, y₁) sont deux points du plan ℝ², on dit (x₀, y₀) < (x₁, y₁)

si y₀ = y₁ et x₀ < x₁. C'est un ordre partiel de ℝ², dans lequel deux points sont comparables si et seulement s'ils se trouvent sur la même ligne horizontale. Les ensembles maximaux totalement ordonnés sont les lignes horizontales dans ℝ².

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hausdorff maximal principle » (voir la liste des auteurs).
• (en) John Kelley, General Topology, Van Nostrand, 1955 [lire en ligne]
• (en) Gregory Moore, Zermelo's Axiom of Choice, Springer, 1982, aperçu sur Google Livres
• (en) James Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000, 2^e éd. (1^re éd. 1975), 537 p. (ISBN 978-0-13-181629-9, lire en ligne)

• (en) « Hausdorff's maximum principle », sur PlanetMath
• (en) « A proof of equivalence of Zorn's lemma, the well-ordering theorem, and Hausdorff's maximum principle », sur PlanetMath