Perturbation singulière

Les équations différentielles contenant un petit paramètre qui pré-multiplient le terme de plus grand ordre montrent des couches limites, de sorte que la solution évolue sur deux échelles différentes. On considère par exemple le cas suivant, trouvé par Friedrichs[5] :

${\displaystyle {\begin{matrix}\varepsilon u^{\prime \prime }(x)+u^{\prime }(x)={\frac {1}{2}},\ \ 0<x<1\\u(0)=0,\ \ u(1)=1.\end{matrix}}}$

On peut trouver la solution exacte de ce problème :

${\displaystyle u(x)={\frac {1-\mathrm {e} ^{-x/\varepsilon }}{2(1-\mathrm {e} ^{-1/\varepsilon })}}+{\frac {x}{2}}.}$

Quand ε tend vers 0, cette fonction tend vers x + 1/2, qui n'est pas solution du problème limite car elle ne vérifie pas la condition limite en 0. Pour obtenir une approximation satisfaisante, on ne peut donc pas se contenter de résoudre le problème associé à ε = 0.

Un manipulateur robotique électrique peut avoir une dynamique mécanique lente et une dynamique électrique rapide, fonctionnant ainsi sur deux échelles. Dans de tels cas, on peut diviser le système en deux sous-systèmes correspondant aux deux échelles de temps, et concevoir des contrôleurs adaptés à chacun. Par une technique de perturbation singulière, on peut rendre ces deux sous-systèmes indépendants.

On considère un système de la forme :

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2})+\varepsilon g_{1}(x_{1},x_{2},\varepsilon ),\,}$

${\displaystyle \varepsilon {\dot {x}}_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2})+\varepsilon g_{2}(x_{1},x_{2},\varepsilon ),\,}$

${\displaystyle x_{1}(0)=a_{1},x_{2}(0)=a_{2},\,}$

avec 0 < ε << 1. On indique ainsi que la dynamique de x₂ est plus rapide que x₁. Un théorème de Tikhonov[6] établit que, sous de bonnes conditions sur le système, il peut être facilement approché par le système

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2}),\,}$

${\displaystyle f_{2}(x_{1},x_{2})=0,\,}$

${\displaystyle x_{1}(0)=a_{1},\,}$

sur un certain intervalle de temps et que, pour ε tendant vers 0, l'approximation sera meilleure sur cet intervalle[7]

En mécanique des fluides, les propriétés d'un fluide faiblement visqueux sont très différentes selon le niveau de sa couche limite. Son comportement dépend donc de plusieurs échelles spatiales.

Les phénomènes de réaction-diffusion où un composant réagit plus vite qu'un autre peuvent créer des motifs marqués par des régions où un composant existe et pas dans d'autres, avec des frontières nettes. En écologie, les modèles prédateur-proie tels que

${\displaystyle u_{t}=\varepsilon u_{xx}+uf(u)-vg(u),\,}$

${\displaystyle v_{t}=v_{xx}+vh(u),\,}$

avec u la population de proies et v celle des prédateurs, ont de tels comportements de forme[8].

On cherche les racines du polynôme p(x) = ε x³ – x² + 1. Dans le cas limite, ε → 0, le polynôme cubique dégénère en polynôme quadratique 1 – x² avec pour racines x = ± 1. En introduisant une séquence asymptotique régulière

${\displaystyle x(\varepsilon )=x_{0}+\varepsilon x_{1}+\varepsilon ^{2}x_{2}+\cdots }$

dans l'équation et en égalisant les puissances de ε on trouve les corrections aux racines :

${\displaystyle x(\varepsilon )=\pm 1+{\frac {1}{2}}\varepsilon \pm {\frac {5}{8}}\varepsilon ^{2}+\cdots .}$

Pour obtenir l'autre racine, l'analyse des perturbations singulières est nécessaire afin de prendre en compte la dégénérescence du degré quand ε → 0, qui fait disparaître une des racines vers l'infini. Pour empêcher cette racine de devenir invisible par analyse perturbative, on doit changer l'échelle de x pour suivre cette racine et l'empêcher de disparaitre. On pose ${\displaystyle x={\frac {y}{\varepsilon ^{\nu }}}}$ où l'exposant ν sera choisi tel que le changement d'échelle permettra de conserver la racine à une valeur finie de y pour ε → 0, sans s'annuler en même temps que les deux autres. On a alors

${\displaystyle y^{3}-\varepsilon ^{\nu -1}y^{2}+\varepsilon ^{3\nu -1}=0.}$

On peut voir que pour ν < 1, le termes en y³ est dominé par les termes de degré inférieur, et pour ν = 1 il devient aussi grand que le terme en y² tout en dominant le terme restant. Ce point où le terme de plus haut degré ne disparait plus à la limite ε = 0 en devenant aussi grand qu'un autre terme est appelé dégénération significative ; on obtient alors le changement d'échelle correct pour garder la visibilité sur la racine restante. Par ce choix, on a :

${\displaystyle y^{3}-y^{2}+\varepsilon ^{2}=0.}$

En introduisant la séquence asymptotique

${\displaystyle y(\varepsilon )=y_{0}+\varepsilon ^{2}y_{1}+\varepsilon ^{4}y_{2}+\cdots }$

on a

${\displaystyle y_{0}^{3}-y_{0}^{2}=0.}$

On retient alors la racine correspondant à y₀ = 1, car la racine double en y₀ = 0 sont mes deux racines obtenues auparavant qui tendent vers 0 pour un changement d'échelle infini. Le calcul des premiers termes de la séquence donne :

${\displaystyle x(\varepsilon )={\frac {y(\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {1}{\varepsilon }}-\varepsilon -2\varepsilon ^{3}+\cdots .}$