Paradoxe du coiffeur

Oncle Joe et Oncle Jim vont chez le coiffeur. Trois coiffeurs vivent et travaillent dans la boutique : Allen, Brown et Carr ; mais ils ne sont pas toujours présents tous les trois dans la boutique. Carr est un bon barbier, et Oncle Jim tient à être coiffé par celui-ci. Il sait que le salon de coiffure est ouvert, et que donc un des trois au moins est présent. Il sait aussi qu'Allen est un homme très nerveux qui ne peut quitter la boutique sans être accompagné de Brown.

Oncle Joe lui explique qu'il n'a pas à s'inquiéter : Carr est nécessairement présent à la boutique, et ceci peut être prouvé par la logique. Oncle Jim en demande la démonstration et Oncle Joe la lui donne comme suit, grâce à un pseudo raisonnement par l'absurde.

Supposons que Carr soit sorti. Dans ce cas, si Allen est aussi sorti, Brown est forcément à l'intérieur de la boutique : il doit y avoir en effet quelqu'un pour que celle-ci soit ouverte. Cependant, nous savons que quand Allen sort, il prend Brown avec lui. Si donc Carr est dehors, les deux phrases suivantes « si Allen est sorti alors Brown est à l'intérieur » et « si Allen est sorti alors Brown est sorti » seraient toutes deux vraies en même temps.

Oncle Joe remarque que cela semble paradoxal : ces deux déductions semblent incompatibles. C'est donc, selon l'histoire, que notre hypothèse de départ est fausse et Carr doit donc logiquement être présent.

Bien évidemment ce raisonnement est faux : il est, par exemple, tout à fait compatible avec les hypothèses que Allen et Brown soient tous deux dans la boutique et que Carr soit sorti.

Cela se démontre aisément en calcul propositionnel par de simples tables de vérité.

Texte de Carroll

• (en) Lewis Carroll, « A Logical Paradox », Mind, vol. 3, n^o 11,‎ juillet 1894, p. 436–440 (DOI 10.1093/mind/III.11.436, lire en ligne) ; republié dans (en) Stuart Dodgson Collingwood, The Lewis Carroll Picture Book : A Selection from the Unpublished Writings and Drawings of Lewis Carroll, together with Reprints from Scarce and Unacknowledged Work, Londres, Thomas Fisher Unwin, 1899 (lire en ligne), p. 312–316
• Lewis Carroll (trad. Jean Gattégno et Ernest Coumet, ill. Max Ernst), Logique sans peine, Paris, Hermann, coll. « L'Esprit et la Main », 1966, 291 p., p. 249 ss.

Analyses

• (en) Arthur W. Burks et Irwing M. Copi, « Lewis Carroll's Barber Shop Paradox », Mind, vol. 59, n^o 234,‎ 1950, p. 219-222 (DOI 10.1093/mind/LIX.234.219)
  • (en) J. C. C. McKinsey, « Review: Arthur W. Burks, Irving M. Copi, “Lewis Carroll's Barber Shop Paradox” », The Journal of Symbolic Logic, vol. 15, n^o 3,‎ avril 1950, p. 222-223
• (en) A. J. Baker, « Incompatible Hypotheticals and the Barber Shop Paradox », Mind, vol. 64, n^o 255,‎ juillet 1955, p. 384-387 (DOI 10.1093/mind/LXIV.255.384)
• (en) Brendan S. Gillon, « Contraposition and Lewis Carroll's Barber Shop Paradox », Dialogue, vol. 36, n^o 2,‎ 1997, p. 247-252 (DOI 10.1017/S0012217300009495)

• Implication stricte qui tente d'éviter d'autres aspects contre-intuitifs de l'implication logique.