Paradoxe de Borel

Soit la densité de probabilité conjointe

${\displaystyle p_{X,Y}(x,y)=\left\{{\begin{matrix}1,&0<y<1,\quad -y<x<1-y\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.}$

La densité marginale de X se calcule

${\displaystyle p_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1+x,&-1<x\leq 0\\1-x,&0<x<1\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.}$

Ainsi la densité conditionnelle de Y sachant X est

${\displaystyle p_{Y|X}(y|x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{1+x}},&-1<x\leq 0,\quad -x<y<1\\\\{\frac {1}{1-x}},&0<x<1,\quad 0<y<1-x\\\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.}$

qui est uniforme suivant y.

Maintenant, appliquons la transformation suivante :

${\displaystyle U={\frac {X}{Y}}+1\qquad \qquad V=Y.}$

En utilisant le théorème du changement de variable, nous obtenons

${\displaystyle p_{U,V}(u,v)=\left\{{\begin{matrix}v,&0<v<1,\quad 0<u\cdot v<1\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.}$

La distribution marginale se calcule et est égale à

${\displaystyle p_{U}(u)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}},&0<u\leq 1\\\\{\frac {1}{2u^{2}}},&1<u<+\infty \\\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.}$

Ainsi la densité conditionnelle de V sachant U est

${\displaystyle p_{V|U}(v|u)=\left\{{\begin{matrix}2v,&0<u\leq 1,\quad 0<v<1\\2u^{2}v,&1<u<+\infty ,\quad 0<v<{\frac {1}{u}}\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.}$

qui n’est pas uniforme suivant v.

D'après ce qui précède, nous avons

${\displaystyle p_{Y|X}(y|x=0)=\left\{{\begin{matrix}1,&0<y<1\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.}$

La condition équivalente dans le système de coordonnées u-v est U = 1, et la densité conditionnelle de V sachant U = 1 est

${\displaystyle p_{V|U}(v|u=1)=\left\{{\begin{matrix}2v,&0<v<1\\0,&{\mbox{sinon}}\end{matrix}}\right.}$

Paradoxalement, V = Y et X = 0 est identique à U = 1, mais

${\displaystyle p_{Y|X}(y|x=0)\neq p_{V|U}(v|u=1).}$