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Orbitographie

En astronautique, l'orbitographie désigne la détermination des éléments orbitaux d'un satellite artificiel.

Deux problèmes célèbres d'orbitographie sont :

  • le problème de Gauss qui consiste à déterminer l'orbite, puis le mouvement d'un corps, connaissant 3 positions successives, , et . C'est en retrouvant Cérès en 1801, à partir de données parcellaires recueillies en , que Gauss se fait connaître. Ce problème a donc été baptisé en son honneur.
  • le problème de Lambert qui consiste à déterminer le mouvement d'un corps connaissant deux ensembles successifs de positions et dates, {,} et {,}.

Problème de Gauss

Il peut aujourd'hui être traité avec les vecteurs, inventés par Gibbs vers 1890.

En désignant par le point d'où sont faites les observations, les 3 vecteurs , et définissent le plan de la trajectoire. Leur surabondance permet d'affiner cette définition par la méthode des moindres carrés. On peut alors définir le vecteur unitaire perpendiculaire à ce plan, . Soit à trouver la direction du périgée, vecteur unitaire ; la direction orthogonale = complète le trièdre.

Théorème 1 de Gibbs

Le vecteur de Gauss-Gibbs, , défini par trois vecteurs de position, , pointe vers la direction (semi-petit axe) et peut donc s'écrire .

.

Soient la demi-ellipse et sur elle, le périgée, le point de l'ellipse tel que , le point du petit axe, et l'apogée : on peut pour vérification, calculer les 4 vecteurs de Gibbs correspondants à 3 parmi 4 de ces positions. Cela permet d'acquérir de "l'intuition".

Le théorème de Gibbs permet donc d'accéder à l'angle =(,), ainsi que les deux autres. Soient 3 équations type , qui permettent, par moindres carrés de trouver et ; ce qui achève la détermination de l'orbite. Il faut évidemment au moins une date pour finir le problème du mouvement.

Remarque : l'intuition de Gauss était que:

.

Le théorème 2 de Gibbs permet de confirmer cette solution.

Seul le cas de 3 points se succédant sur une demi-ellipse est traité ; si le décalage temporel dépasse la demi-période, il convient de prendre en compte la disposition des points.

Démonstration

On appelle vecteur excentricité le vecteur , étant le centre de l'ellipse. Ce vecteur est donc .

On rappelle que c'est un invariant (SO4) du problème de Kepler :

,
( étant le moment cinétique. .)

et en particulier, comme vu plus haut : .

Calculer : il vient . Donc, et sont dans la même direction (demi-petit axe), an peut donc s'écrire : .

Théorème 2 de Gibbs

Soit le vecteur d'aire défini par les trois vecteurs de position :

= ;

alors

e = .

Démonstration

Puisque les produits croisés avec , en considérant que , nous avons:

.

Par conséquent,

Les vecteurs et leur somme sont perpendiculaires au plan orbital. Donc

Théorème 3 de Gibbs

Soit enfin le vecteur-volume des aires pondérées :

.

Ensuite, le semi-latus rectum, , de l'orbite peut être dérivé des vecteurs et définis précédemment,

.

De plus, le moment cinétique spécifique, , du corps en orbite sera lié aux deux vecteurs par :

.

Démonstration

Les 3 vecteurs de position sont coplanaires. Ils peuvent donc s'écrire :

est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan orbital

.

On suppose en outre qu'il a la même direction que le vecteur moment cinétique.

Les trois vecteurs étant indépendants, il existe des coefficients tels que leur combinaison linéaire soit un vecteur nul.

.

En prenant le produit scalaire de cette équation avec , et en considérant , nous avons:

, et
.

Si les produits croisés de l'équation ci-dessus avec sont pris, respectivement. Nous avons:

,

et

.

Ainsi, (avec une constante arbitraire k)

.

Par conséquent,

De plus, à partir des lois du mouvement de Newton et de l'équation de la trajectoire orbitale, on sait que :

Par conséquent, grâce au pontage de , la relation entre et [] peut être facilement dérivée:

Et on voit que les vecteurs auxiliaires, [], définis par les trois vecteurs de position observés, relient magiquement la propriété géométrique de l'orbite, , au paramètre dynamique du mouvement, .

Détermination du Vecteur Vitesse

On peut ensuite calculer le vecteur vitesse en chacun des 3 points via le vecteur-excentricité. L'astuce consiste à prendre le produit croisé de et , de sorte que l'expression du vecteur vitesse puisse être révélée. Les étapes pour calculer le vecteur vitesse sont listées comme suit:

.

En conséquence, nous avons l'équation suivante pour le vecteur de vitesse, en termes de paramètre gravitationnel et de vecteur de position:

( est le paramètre gravitationnel standard).

Selon les théorèmes précédents, nous avons,

,

et

Par conséquent,

.

Vecteur Vitesse à partir de Trois Vecteurs Position

En résumé, le vecteur vitesse peut être exprimé en fonction des vecteurs , définis par les trois vecteurs position observés, comme suit:

.

Une preuve alternative pour ce formulaire est décrite ici. L'astuce consiste à utiliser la relation et la relation entre et pour trouver la relation fonctionnelle entre et .

.

Par conséquent, le vecteur vitesse peut également être exprimé par:

.

Le théorème précédent montre que et sont liés par:

Enfin, à travers les trois vecteurs auxiliaires , définis par les trois vecteurs position, le vecteur vitesse peut s'exprimer en fonction des vecteurs position:

Problème de Lambert

Travail en 1760 : déterminer le mouvement connaissant deux évènements.

Plummer (An introductory treatise on dynamical astronomy , 1960, ed Dover) donne la solution analytique de ce problème. Pollard (Celestial Mechanics, 1966, ed Prentice-Hall) y fait référence. Guiziou () propose l'élégante solution suivante : se ramener au problème de Gauss.

Plus précisément, soit et les 2 points. On définit le point par : , avec pour le moment indéterminé. On est ainsi ramené au problème de Gauss-Gibbs. Il n'y a qu'un seul qui donne une durée pour décrire l'arc d'ellipse de en : on résout numériquement l'équation ce qui donne et achève le problème.

Référence

Droit français : arrêté du relatif à la terminologie des sciences et techniques spatiales.

Voir aussi

.

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