Orbitographie

Le vecteur de Gauss-Gibbs, ${\displaystyle {\vec {G}}}$, défini par trois vecteurs de position, ${\displaystyle {\vec {r_{1}}},{\vec {r_{2}}},{\vec {r_{3}}}}$, pointe vers la direction ${\displaystyle {\vec {j}}}$ (semi-petit axe) et peut donc s'écrire ${\displaystyle \|{\vec {G}}\|\,{\vec {j}}}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {G}}&={\overrightarrow {OP_{1}}}(r_{2}-r_{3})+{\overrightarrow {OP_{2}}}(r_{3}-r_{1})+{\overrightarrow {OP_{3}}}(r_{1}-r_{2})\\&={\overrightarrow {r_{1}}}(r_{2}-r_{3})+{\overrightarrow {r_{2}}}(r_{3}-r_{1})+{\overrightarrow {r_{3}}}(r_{1}-r_{2})\\&=\|{\vec {G}}\|\,{\vec {j}}\\\end{aligned}}}$.

Soient la demi-ellipse et sur elle, ${\displaystyle P_{0}}$ le périgée, ${\displaystyle H}$ le point de l'ellipse tel que ${\displaystyle {\overrightarrow {OH}}\parallel {\vec {j}}}$, ${\displaystyle B}$ le point du petit axe, et ${\displaystyle A}$ l'apogée : on peut pour vérification, calculer les 4 vecteurs de Gibbs correspondants à 3 parmi 4 de ces positions. Cela permet d'acquérir de "l'intuition".

Le théorème de Gibbs permet donc d'accéder à l'angle ${\displaystyle \theta _{1}}$ =(${\displaystyle {\overrightarrow {OP_{0}}}}$,${\displaystyle {\overrightarrow {OP_{1}}}}$), ainsi que les deux autres. Soient 3 équations type ${\displaystyle p=r_{1}+e\cdot r_{1}\cdot \cos(\theta _{1})}$ , qui permettent, par moindres carrés de trouver ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle e}$ ; ce qui achève la détermination de l'orbite. Il faut évidemment au moins une date pour finir le problème du mouvement.

Remarque : l'intuition de Gauss était que:

${\displaystyle e={\frac {\|G\|}{2\cdot AireTriangle(P1P2P3)}}={\frac {\|G\|}{\left\|{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\times {\overrightarrow {P_{1}P_{3}}}\right\|}}}$.

Le théorème 2 de Gibbs permet de confirmer cette solution.

Seul le cas de 3 points se succédant sur une demi-ellipse est traité ; si le décalage temporel dépasse la demi-période, il convient de prendre en compte la disposition des points.

On appelle vecteur excentricité le vecteur ${\displaystyle {\vec {e}}={\frac {\vec {CO}}{a}}}$, ${\displaystyle C}$ étant le centre de l'ellipse. Ce vecteur est donc ${\displaystyle {\vec {e}}=e{\vec {i}}}$.

On rappelle que c'est un invariant (SO4) du problème de Kepler :

${\displaystyle {\vec {e}}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {L_{0}}}}{GMm}}-{\frac {\vec {r}}{r}}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {h}}}{\mu }}-{\frac {\vec {r}}{r}}}$,

(${\displaystyle L_{0}}$ étant le moment cinétique. ${\displaystyle {\vec {h}}={\frac {\vec {L_{0}}}{m}},\mu =GM}$.)

et en particulier, comme vu plus haut : ${\displaystyle p-r={\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}$.

Calculer ${\displaystyle {\vec {G}}\cdot {\vec {e}}}$ : il vient ${\displaystyle (p-r_{1})(r_{2}-r_{3})+(p-r_{2})(r_{3}-r_{1})+(p-r_{3})(r_{1}-r_{2})=0}$. Donc, ${\displaystyle {\vec {G}}}$ et ${\displaystyle {\vec {j}}}$ sont dans la même direction (demi-petit axe), an peut donc s'écrire : ${\displaystyle {\vec {G}}=\|{\vec {G}}\|\,{\vec {j}}}$.

Soit le vecteur d'aire défini par les trois vecteurs de position :

${\displaystyle {\vec {A}}}$ = ${\displaystyle {\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}+{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}+{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}=\|{\vec {A}}\|\,{\vec {k}}}$ ;

alors

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {A}}\times {\vec {e}}={\vec {G}}\end{aligned}}}$

e = ${\displaystyle {\frac {\|{\vec {G}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}$.

Puisque les produits croisés avec ${\displaystyle {\vec {e}}}$, en considérant que ${\displaystyle {\vec {e}}\cdot {\vec {r}}=p-r}$, nous avons:

${\displaystyle {\begin{aligned}({\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}})\times {\vec {e}}&=p({\vec {r_{2}}}-{\vec {r_{1}}})+r_{2}{\vec {r_{1}}}-r_{1}{\vec {r_{2}}}\\({\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}})\times {\vec {e}}&=p({\vec {r_{3}}}-{\vec {r_{2}}})+r_{3}{\vec {r_{2}}}-r_{2}{\vec {r_{3}}}\\({\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}})\times {\vec {e}}&=p({\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{3}}})+r_{1}{\vec {r_{3}}}-r_{3}{\vec {r_{1}}}\\\end{aligned}}}$.

Par conséquent,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {A}}\times {\vec {e}}&=(r_{2}-r_{3}){\vec {r_{1}}}+(r_{3}-r_{1}){\vec {r_{2}}}+(r_{1}-r_{2}){\vec {r_{3}}}\\&={\vec {G}}\end{aligned}}}$

Les vecteurs ${\displaystyle {\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}},{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}},{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}}$ et leur somme ${\displaystyle {\vec {A}}}$ sont perpendiculaires au plan orbital. Donc

${\displaystyle {\vec {A}}\times {\vec {e}}=\|{\vec {A}}\|\|{\vec {e}}\|\sin(90^{\circ })\,{\vec {j}}=\|{\vec {A}}\|\,\,e\,{\vec {j}}}$

${\displaystyle e={\frac {\|{\vec {A}}\times {\vec {e}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}={\frac {\|G\|}{\|{\vec {A}}\|}}}$

Soit enfin le vecteur-volume des aires pondérées :

${\displaystyle {\vec {V}}=({\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}})\cdot r_{3}+({\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}})\cdot r_{1}+({\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}})\cdot r_{2}=\|{\vec {V}}\|\,{\vec {k}}}$.

Ensuite, le semi-latus rectum, ${\displaystyle p}$, de l'orbite peut être dérivé des vecteurs ${\displaystyle {\vec {V}}}$ et ${\displaystyle {\vec {A}}}$ définis précédemment,

${\displaystyle p={\frac {\vec {V}}{\vec {A}}}={\frac {\|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}$.

De plus, le moment cinétique spécifique, ${\displaystyle h}$, du corps en orbite sera lié aux deux vecteurs par :

${\displaystyle h={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}}$.

Les 3 vecteurs de position sont coplanaires. Ils peuvent donc s'écrire :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}&=a_{12}\,{\vec {k}}\Rightarrow a_{12}={\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}\cdot {\vec {k}}\\{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}&=a_{23}\,{\vec {k}}\Rightarrow a_{23}={\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}\cdot {\vec {k}}\\{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}&=a_{31}\,{\vec {k}}\Rightarrow a_{31}={\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}\cdot {\vec {k}}\\\end{aligned}}}$

où ${\displaystyle {\vec {k}}}$ est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan orbital

${\displaystyle {\vec {k}}={\frac {{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}}{\|{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}\|}}={\frac {{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}}{\|{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}\|}}={\frac {{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}}{\|{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}\|}}}$.

On suppose en outre qu'il a la même direction que le vecteur moment cinétique.

Les trois vecteurs étant indépendants, il existe des coefficients ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$ tels que leur combinaison linéaire soit un vecteur nul.

${\displaystyle \lambda _{1}\,{\vec {r_{1}}}+\lambda _{2}\,{\vec {r_{2}}}+\lambda _{3}\,{\vec {r_{3}}}={\vec {0}}}$.

En prenant le produit scalaire de cette équation avec ${\displaystyle {\vec {e}}}$, et en considérant ${\displaystyle {\vec {e}}\cdot {\vec {r}}=p-r}$, nous avons:

${\displaystyle p\,\,(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})=\lambda _{1}\,r_{1}+\lambda _{2}\,r_{2}+\lambda _{3}\,r_{3}}$, et

${\displaystyle p={\frac {\lambda _{1}\,r_{1}+\lambda _{2}\,r_{2}+\lambda _{3}\,r_{3}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}}$.

Si les produits croisés de l'équation ci-dessus avec ${\displaystyle {\vec {r_{1}}},{\vec {r_{2}}},{\vec {r_{3}}}}$ sont pris, respectivement. Nous avons:

${\displaystyle \lambda _{1}\,{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{1}}}+\lambda _{2}\,{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{1}}}+\lambda _{3}\,{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}={\vec {0}}}$

${\displaystyle \lambda _{1}\,{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}+\lambda _{2}\,{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{2}}}+\lambda _{3}\,{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{2}}}={\vec {0}}}$

${\displaystyle \lambda _{1}\,{\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{3}}}+\lambda _{2}\,{\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}+\lambda _{3}\,{\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{3}}}={\vec {0}}}$,

et

${\displaystyle {\begin{aligned}-\lambda _{2}\,a_{12}+\lambda _{3}\,a_{31}&=0\\+\lambda _{1}\,a_{12}-\lambda _{3}\,a_{23}&=0\\-\lambda _{1}\,a_{31}+\lambda _{2}\,a_{23}&=0\end{aligned}}}$.

Ainsi, (avec une constante arbitraire k)

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}\ =k\cdot a_{23}=k\cdot {\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}}\cdot {\vec {u_{3}}}\\\lambda _{2}\ =k\cdot a_{31}=k\cdot {\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}}\cdot {\vec {u_{3}}}\\\lambda _{3}\ =k\cdot a_{12}=k\cdot {\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}}\cdot {\vec {u_{3}}}\end{aligned}}}$.

Par conséquent,

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {\lambda _{1}\,r_{1}+\lambda _{2}\,r_{2}+\lambda _{3}\,r_{3}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}\\&={\frac {({\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}})\,r_{1}+({\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}})\,r_{2}+({\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}})\,r_{3}}{({\vec {r_{2}}}\times {\vec {r_{3}}})+({\vec {r_{3}}}\times {\vec {r_{1}}})+({\vec {r_{1}}}\times {\vec {r_{2}}})}}\\&={\frac {\vec {V}}{\vec {A}}}={\frac {\vec {\|V\|}}{\vec {\|A\|}}}\end{aligned}}}$

De plus, à partir des lois du mouvement de Newton et de l'équation de la trajectoire orbitale, on sait que :

${\displaystyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}$

Par conséquent, grâce au pontage de ${\displaystyle p}$, la relation entre ${\displaystyle h}$ et [${\displaystyle {\vec {A}},{\vec {V}}}$] peut être facilement dérivée:

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {\vec {V}}{\vec {A}}}={\frac {\|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}={\frac {h^{2}}{\mu }}\\\Rightarrow h&={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}\end{aligned}}}$

Et on voit que les vecteurs auxiliaires, [${\displaystyle {\vec {A}},{\vec {V}}}$], définis par les trois vecteurs de position observés, relient magiquement la propriété géométrique de l'orbite, ${\displaystyle p}$, au paramètre dynamique du mouvement, ${\displaystyle h}$.

On peut ensuite calculer le vecteur vitesse en chacun des 3 points via le vecteur-excentricité. L'astuce consiste à prendre le produit croisé de ${\displaystyle {\vec {k}}}$ et ${\displaystyle {\vec {k}}}$, de sorte que l'expression du vecteur vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ puisse être révélée. Les étapes pour calculer le vecteur vitesse sont listées comme suit:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {e}}&={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {h}}}{\mu }}-{\frac {\vec {r}}{r}}\\{\vec {k}}\times {\vec {e}}&={\frac {{\vec {k}}\times ({\vec {v}}\times {\vec {h}})}{\mu }}-{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\&={\frac {({\vec {k}}\cdot {\vec {h}}){\vec {v}}-({\vec {k}}\cdot {\vec {v}}){\vec {h}}}{\mu }}-{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\{\vec {k}}\times e{\vec {i}}&={\frac {({\vec {k}}\cdot h{\vec {k}}){\vec {v}}}{\mu }}-{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\e{\vec {j}}&={\frac {h{\vec {v}}}{\mu }}-{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\\end{aligned}}}$.

En conséquence, nous avons l'équation suivante pour le vecteur de vitesse, en termes de paramètre gravitationnel et de vecteur de position:

${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\mu }{h}}(e{\vec {j}}+{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})}$

(${\displaystyle \mu }$ est le paramètre gravitationnel standard).

Selon les théorèmes précédents, nous avons,

${\displaystyle e={\frac {\|{\vec {G}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}$,

et

${\displaystyle h={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}}$

Par conséquent,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {v}}&={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {A}}\|}{\|{\vec {V}}\|}}}({\frac {\|{\vec {G}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}{\vec {j}}+{\vec {k}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\&={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {A}}\|}{\|{\vec {V}}\|}}}({\frac {\vec {G}}{\|{\vec {A}}\|}}+{\frac {\vec {A}}{\|{\vec {A}}\|}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\&={\sqrt {\frac {\mu }{\|{\vec {V}}\|\,\|{\vec {A}}\|}}}\,\,({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\\end{aligned}}}$.

En résumé, le vecteur vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ peut être exprimé en fonction des vecteurs ${\displaystyle {\vec {G}},{\vec {A}},{\vec {V}}}$, définis par les trois vecteurs position observés, comme suit:

${\displaystyle {\vec {v}}={\sqrt {\frac {\mu }{\|{\vec {V}}\|\,\|{\vec {A}}\|}}}\,\,({\vec {G}}+{\frac {{\vec {A}}\times {\vec {r}}}{r}})}$.

Une preuve alternative pour ce formulaire est décrite ici. L'astuce consiste à utiliser la relation ${\displaystyle {\vec {G}}={\vec {A}}\times {\vec {e}}}$ et la relation entre ${\displaystyle {\vec {e}}}$ et ${\displaystyle [{\vec {v}},{\vec {r}}]}$ pour trouver la relation fonctionnelle entre ${\displaystyle [{\vec {v}},{\vec {r}}]}$ et ${\displaystyle [{\vec {G}},{\vec {A}},{\vec {V}}]}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {e}}&={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {h}}}{\mu }}-{\frac {\vec {r}}{r}}\\{\vec {A}}\times {\vec {e}}&={\frac {{\vec {A}}\times ({\vec {v}}\times {\vec {h}})}{\mu }}-{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\&={\frac {({\vec {A}}\cdot {\vec {h}}){\vec {v}}-({\vec {A}}\cdot {\vec {v}}){\vec {h}}}{\mu }}-{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\{\vec {G}}&={\frac {({\vec {A}}\cdot h{\vec {k}}){\vec {v}}}{\mu }}-{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}\\{\vec {v}}&={\frac {\mu }{({\vec {A}}\cdot h{\vec {k}})}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\\end{aligned}}}$.

Par conséquent, le vecteur vitesse peut également être exprimé par:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {v}}&={\frac {\mu }{\|{\vec {A}}\|\cdot h}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\\end{aligned}}}$.

Le théorème précédent montre que ${\displaystyle h}$ et ${\displaystyle [{\vec {V}},{\vec {A}}]}$ sont liés par:

${\displaystyle h={\sqrt {\frac {\mu \|{\vec {V}}\|}{\|{\vec {A}}\|}}}}$

Enfin, à travers les trois vecteurs auxiliaires ${\displaystyle {\vec {G}},{\vec {A}},{\vec {V}}}$, définis par les trois vecteurs position, le vecteur vitesse peut s'exprimer en fonction des vecteurs position:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {v}}&={\frac {\mu }{\|{\vec {A}}\|\cdot h}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\&={\frac {\mu }{\|{\vec {A}}\|}}{\sqrt {\frac {\|{\vec {A}}\|}{\mu \|{\vec {V}}\|}}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}})\\{\vec {v}}&={\sqrt {\frac {\mu }{\|{\vec {A}}\|\|V\|}}}({\vec {G}}+{\vec {A}}\times {\frac {\vec {r}}{r}}).\\\end{aligned}}}$