Numération d'Ostrowski

Soit ${\displaystyle \alpha }$ un nombre irrationnel positif avec développement en fraction continue

${\displaystyle \alpha =a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\cdots }}}}}}}$

Soit ${\displaystyle (q_{n})}$ la suite des dénominateurs des convergents ${\displaystyle p_{n}/q_{n}}$ vers ${\displaystyle \alpha }$, donnée par

${\displaystyle q_{n}=a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}}$.

On pose ${\displaystyle \alpha _{n}=T^{n}(\alpha )}$, où ${\displaystyle T}$ est l'opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing donné par ${\displaystyle T(x)=\{1/x\}}$, et ${\displaystyle \beta _{n}=(-1)^{n+1}\alpha _{0}\alpha _{1}\cdots \alpha _{n}}$ ; on a alors

\${\displaystyle \beta _{n}=a_{n}\beta _{n-1}+\beta _{n-2}}$.

Tout nombre réel positif ${\displaystyle x}$ peut être écrit sous la forme

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\beta _{n}\ }$

où les coefficients ${\displaystyle b_{n}}$ vérifient l'inégalité ${\displaystyle b_{n}\leq a_{n}}$ et, s'il y a égalité ${\displaystyle b_{n}=a_{n}}$, alors ${\displaystyle b_{n-1}=0}$.

Tout entier positif ${\displaystyle N}$ peut être écrit de façon unique sous la forme

${\displaystyle N=\sum _{n=1}^{k}b_{n}q_{n}\ }$

où les coefficients vérifient l'inégalité ${\displaystyle 0\leq b_{n}\leq a_{n}}$ et si ${\displaystyle b_{n}=a_{n}}$ alors ${\displaystyle b_{n-1}=0}$.

Si ${\displaystyle \alpha =\varphi }$ est le nombre d'or, alors les quotients partiels ${\displaystyle a_{n}}$ sont tous égaux à 1, les dénominateurs ${\displaystyle q_{n}}$ denominators q_n sont les nombres de Fibonacci et on retrouve le théorème de Zeckendorf sur le codage de Fibonacci des entiers positifs comme somme de nombre de Fibonacci distincts non consécutifs.

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• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ostrowski numeration » (voir la liste des auteurs).

• Jean-Paul Allouche et Jeffrey Shallit, Automatic Sequences : Theory, Applications, Generalizations, Cambridge University Press, 2003, 571 p. (ISBN 978-0-521-82332-6, zbMATH 1086.11015, lire en ligne).
• Chiara Epifanio, Christiane Frougny, Alessandra Gabriele, Filippo Mignosi et Jeffrey Shallit, « Sturmian graphs and integer representations over numeration systems », Discrete Applied Mathematics, vol. 160, n^os 4-5,‎ 2012, p. 536–547 (DOI 10.1016/j.dam.2011.10.029, zbMATH 1237.68134)
• Alexander Ostrowski, « Bemerkungen zur Theorie der diophantischen Approximationen », Hamb. Abh., vol. 1,‎ 1921, p. 77–98 (JFM 48.0197.04)
• (en) N. Pytheas Fogg (nom de plume), Valérie Berthé, Sébastien Ferenczi, Christian Mauduit et Anne Siegel (éditeurs), Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics, Berlin/Heidelberg/New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 1794), 2002, 402 p. (ISBN 3-540-44141-7, zbMATH 1014.11015)